Aufstellen und Interpretieren von Termen
Aufstellen und Interpretieren von Termen Aufstellen und Interpretieren von Termen
Quelle: Sinus-Transfer Lösung: U = a+b+c+d+(a+c)+(d+b) = 2a+2b+2c+2d = 2(a+b+c+d) A = a·(b+d)+c·d = (a+c)·d+a·b = (a+c)·(b+d)−b·c = ab+ad+cd 19. Die Fußballmannschaft Champions trainiert an drei Werktagen in der Woche jeweils von 18 bis 20 Uhr. Jeden Sonntag findet ein Spiel statt, das genau 2 Stunden dauert. Die Mannschaftsmitglieder, die gerade nicht auf dem Spielfeld sind, trainieren unterdessen. Jeder Spieler trägt ein Paar Socken, die nach vier Stunden Spiel oder Training durchgelaufen sind. Stelle einen Term T(M) für die Anzahl der durchgelaufenen Sockenpaare pro Woche auf, wenn die Mannschaft Champions aus M Mannschaftsmitgliedern besteht! Lösung: T(M) = (3·2+2)·M/4 = 2M 20. Bilde den Term zu folgenden Gliederungen: (a) T ist ein Bruch; der Zähler ist die Summe aus c und dem Produkt aus a und b, der Nenner ist die dreifache Differenz aus a und b. (b) T ist eine Differenz; der Minuend ist das Quadrat der Summe aus x und y, der Subtrahend ist der Quotient aus x und z. Lösung: (a) c+ab 3(a−b) (b) (x+y) 2 − x z 12
21. Zerlegung eines Rechtecks in Dreiecke Im Inneren eines Rechtecks sind Punkte gegeben. Sie heißen verstreut“, wenn je ” drei Punkte, einschließlich der Eckpunkte des Rechtecks, nicht auf einer Geraden liegen. Das Rechteck wird in Dreiecke zerlegt, deren Eckpunkte nur die gegebenen verstreuten“ Punkte oder Eckpunkte des Rechtecks sind. ” (a) Zeichne ein Rechteck mit vier ” verstreuten“ Punkten. Trage zwei verschiedene Zerlegungen des Rechtecks in Dreiecke ein. Bestimme jeweils die Anzahl der entstandenen Dreiecke. Wähle in einer neuen Zeichnung andere Positionen für die vier ,,verstreuten” Punkte und bestimme erneut die Anzahl der Dreiecke bei zwei verschiedenen Zerlegungen. (b) Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren kein, ein, zwei oder drei ” verstreute“ Punkte liegen? (c) Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren 20 ” verstreute“ Punkte liegen? (d) Gib einen Term an, mit dem du die Anzahl der Dreiecke bestimmen kannst, wenn k die Anzahl der ” verstreuten“ Punkte angibt. (e) DieAnzahl der Dreiecke bei einer Zerlegung kannauch mit einer anderen Überlegung gewonnen werden: Jeder Punkt im Inneren ist Eckpunkt mehrerer Dreiecke und jeder Eckpunkt des Rechtecks ist Eckpunkt von mindestens einem Dreieck. Addiere die Innenwinkel aller Dreiecke, indem du die Winkel an den inneren Punkten und an den Eckpunkten addierst. Berechne dann die Anzahl der Dreiecke. Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001 Lösung: (a) Es entstehen jeweils 10 Dreiecke. (b) Es entstehen 2, 4, 6 und 8 Dreiecke. (c) Es entstehen jeweils 42 Dreiecke. (d) 2k +2 (e) (k ·360 ◦ +4·90 ◦ ) : 180 ◦ = 2k+2 22. (a) Die monatlichen Telefongebüren berechnen sich beim Anbieter FONO aus der Grundgebühr und der Anzahl der Gespräche, wobei 12 Gespräche frei sind: Grundgebühr: 13,60 € 1 Gespräch kostet: 0,11 € i. Stelle einen Term für die Berechnung der monatlichen Telefongebühren auf. ii. Bestimme die Definitionsmenge und berechne einige Werte des Terms. 13
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21. Zerlegung eines Rechtecks in Dreiecke<br />
Im Inneren eines Rechtecks sind Punkte gegeben. Sie heißen verstreut“, wenn je ”<br />
drei Punkte, einschließlich der Eckpunkte des Rechtecks, nicht auf einer Geraden<br />
liegen. Das Rechteck wird in Dreiecke zerlegt, deren Eckpunkte nur die gegebenen<br />
verstreuten“ Punkte oder Eckpunkte des Rechtecks sind.<br />
”<br />
(a) Zeichne ein Rechteck mit vier ”<br />
verstreuten“ Punkten. Trage zwei verschiedene<br />
Zerlegungen des Rechtecks in Dreiecke ein. Bestimme jeweils die Anzahl der<br />
entstandenen Dreiecke.<br />
Wähle in einer neuen Zeichnung andere Positionen für die vier ,,verstreuten”<br />
Punkte <strong>und</strong> bestimme erneut die Anzahl der Dreiecke bei zwei verschiedenen<br />
Zerlegungen.<br />
(b) Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren kein, ein,<br />
zwei oder drei ”<br />
verstreute“ Punkte liegen?<br />
(c) Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren 20 ”<br />
verstreute“<br />
Punkte liegen?<br />
(d) Gib einen Term an, mit dem du die Anzahl der Dreiecke bestimmen kannst,<br />
wenn k die Anzahl der ”<br />
verstreuten“ Punkte angibt.<br />
(e) DieAnzahl der Dreiecke bei einer Zerlegung kannauch mit einer anderen Überlegung<br />
gewonnen werden: Jeder Punkt im Inneren ist Eckpunkt mehrerer Dreiecke<br />
<strong>und</strong> jeder Eckpunkt des Rechtecks ist Eckpunkt <strong>von</strong> mindestens einem<br />
Dreieck. Addiere die Innenwinkel aller Dreiecke, indem du die Winkel an den<br />
inneren Punkten <strong>und</strong> an den Eckpunkten addierst. Berechne dann die Anzahl<br />
der Dreiecke.<br />
Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001<br />
Lösung: (a) Es entstehen jeweils 10 Dreiecke.<br />
(b) Es entstehen 2, 4, 6 <strong>und</strong> 8 Dreiecke.<br />
(c) Es entstehen jeweils 42 Dreiecke.<br />
(d) 2k +2<br />
(e) (k ·360 ◦ +4·90 ◦ ) : 180 ◦ = 2k+2<br />
22. (a) Die monatlichen Telefongebüren berechnen sich beim Anbieter FONO aus der<br />
Gr<strong>und</strong>gebühr <strong>und</strong> der Anzahl der Gespräche, wobei 12 Gespräche frei sind:<br />
Gr<strong>und</strong>gebühr: 13,60 €<br />
1 Gespräch kostet: 0,11 €<br />
i. Stelle einen Term für die Berechnung der monatlichen Telefongebühren<br />
auf.<br />
ii. Bestimme die Definitionsmenge <strong>und</strong> berechne einige Werte des Terms.<br />
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