Vorlesung Einführung in die Spieltheorie

Vorlesung Einführung in die Spieltheorie
Tim Hellmann
15.12.2009
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Kooperative Verhandlunglösungen
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Kooperative Verhandlunglösungen
Zwei Ansätze von Verhandlungssituationen:
nicht kooperativ als extensives Spiel,
kooperativ, eine “Schiedsrichterlösung”.
modelliert nicht den Verhandlungsprozeß
erzielbare Ergebnisse bei Kooperation/Scheitern von
Kooperation
gibt eine axiomatische Darstellung wünschenswerter
Eigenschaften einer Verhandlungslösung
→ kooperative Lösungen
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhandlungsproblem, allgemein – WDH
Definition
Ein (Nash’sches) Verhandlungsproblem ist ein Paar B = (U, d) mit
den folgenden Eigenschaften:
U ⊆ R 2 .
d ∈ U.
Es gibt ein v ∈ U, so daß v ≫ d.
U ist konvex.
U ist abgeschlossen und nach oben beschränkt, d.h. es
gibt ein b ∈ R; so daß v ≤ b für alle v ∈ U.
U: Menge der erzielbaren Nutzenpaare
d: Drohpunkt = Ergebnis bei Scheitern der Verhandlungen
v ≫ d für ein v ∈ U: Beide Spieler können echt gewinnen,
wenn sie sich einigen.
bezeichne mit B die Menge aller Verhandlungsprobleme.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Verhandlungsproblem, allgemein – WDH
Zentrale Fragestellung:
Auf welche Auszahlungspaare (Nutzen) v ∈ R 2 sollten sich die
Spieler in einem Verhandlungsproblem (U, d) einigen?
Welche Eigenschaften soll eine Lösung haben?
Definition
Eine Verhandlungslösung eines Verhandlungsproblems B = (U, d)
ist eine Abbildung
L : B → U,
Eine Verhandlungslösung ordnet jeder Verhandlungsituation
genau ein Nutzenpaar in U zu.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Annahmen an eine vernünftige Lösung – WDH
Definition (Axiom PAR)
Für alle B = (U, d) ∈ B und v, v ′ ∈ U, so dass v 1 > v ′ 1 und
v 2 > v ′ 2 soll gelten, dass v ′ ≠ L(B).
Definition (Axiom SYM)
Für alle B = (U, d) ∈ B, so dass (v 1 , v 2 ) ∈ U ⇒ (v 2 , v 1 ) ∈ U und
d 1 = d 2 , gilt: v ∗ = L(B) ⇒ v ∗ 1 = v ∗ 2 .
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Annahmen an eine vernünftige Lösung – WDH
Definition (Axiom INV)
Es sei B = (U, d) ein Verhandlungsproblem. Für α, β ∈ R, so dass
α > 0, betrachte das Verhandlungsproblem B ′ = (U ′ , d ′ ), so dass
U ′ := {(v ′ 1 , v ′ 2 ) ∈ R2 : v ′ 1 = αv 1 + β, v ′ 2 = αv 2 + β ∀v ∈ U} und
d ′ = (αd 1 + β, αd 2 + β). Wenn nun v ∗ = L(B) dann ist
αv ∗ + β = L(B ′ ).
Definition (Axiom IIA)
Es seien B = (U, d) und B ′ = (U ′ , d ′ ) Verhandlungsprobleme, so
dass U ′ ⊂ U und d = d ′ . Falls nun v ∗ ∈ U ′ und v ∗ = L(B) dann
ist auch v ∗ = L(B ′ ).
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Die Nash-Verhandlungslösung – WDH
Theorem
Es gibt genau eine Lösung die für jedes Verhandlungsproblem
B ∈ B die Axiome PAR, SYM, INV und IIA erfüllt. Für ein
gegebenes Verhandlungsproblem B = (U, d) ordnet diese Lösung
die Aufteilung (v1 ∗, v 2 ∗ ) ∈ U den Spielern zu, so dass
(v ∗ 1 , v ∗ 2 ) = argmax v∈U:v≥d (v 1 − d 1 )(v 2 − d 2 )
durch diese 4 sehr einleuchtende Axiome ist bereits immer
eine eindeutige Lösung definiert!
diese Lösung wird auch Nash-Verhandlungslösung genannt.
das Nash-Produkt (v 1 − d 1 )(v 2 − d 2 ) wird maximiert unter der
Nebenbedingung, dass v 1 , v 2 ∈ U und v 1 ≥ d 1 , v 2 ≥ d 2
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Nash-Verhandlungslösung: Erweiterungen
mehr Spieler: N = {1, . . . , n} ,, dann ist B = (U, d) so dass
d ∈ U ⊆ R n , sonst selbe Eigenschaften
NA(B) := argmax v∈U:v≥d
n∏
(v i − d i )
i=1
asymmetrische NVL: α ∈ R n , α i > 0, i = 1, . . . , n
Na α (B) = argmax v∈U:v≥d
n∏
(v i − d i ) α i
i=1
die α i modellieren etwa Verhandlungsmacht/-geschick der
Spieler
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel, Berechnung der Nash-Verhandlungslösung
Zwei Spiele verhandeln über die Aufteilung eines Kuchens der
Größe 3. Falls die beiden Spieler sich nicht einigen können,
bekommt Sp.1 nichts und Sp.2 bekommt 1/3 des Kuchens. Der
Nutzen der Spieler entspreche genau ihrem Anteil an dem Kuchen.
Wie sieht die Nash-Verhandlungslösung aus?
Das Verhandlungsspiel B = (U, d) ist daher gegeben durch:
U = {(v 1 , v 2 ) ∈ R 2 + : v 1 + v 2 ≤ 3}
d = (0, 1)
die Nash-Verhandlungslösung ist also die Lösung des
folgenden Optimierungsproblems:
max (v 1 − 0)(v 2 − 1)
s.t. v 1 + v 2 ≤ 3
v 1 , v 2 ≥ 0
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel, Berechnung der Nash-Verhandlungslösung
Nutze die Tatsache, dass die Nash Lösung Pareto-Effizient ist.
Es muß also gelten, dass v 1 + v 2 =3. Das
Optimierungsproblem wird daher zu:
max v 1 (v 2 − 1)
Lösung mit Hilfe von Lagrange:
s.t. v 1 + v 2 = 3
v 1 , v 2 ≥ 0
L(v 1 , v 2 , λ) := v 1 (v 2 − 1) + λ(3 − v 1 − v 2 )
→ Nash-Verhandlungslösung Na(B) = (1, 2)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Kritik an der Nash-Verhandlungslösung
Definition
Eine Verhandlungslösung L ist monoton , wenn
L (U, d) ≥ L (U ′ , d) für alle (U, d) , (U ′ , d) ∈ B, U ′ ⊆ U.
Kritik:
Nash-Verhandlungslösung ist nicht monoton
⇒ Kalai-Smorodinsky-Verhandlungslösung
jedoch: auch diese ist nicht monoton :-(
genügt aber anderen Monotonieeigenschaften
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Kooperative Spiele
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Kooperative Spiele, Motivation
Bislang:
Spieler mußten nicht kooperativ entscheiden, konnten keine
Verträge schließen.
daher bekommen wir z.B. beim Gefangenendilemma
ineffiziente Lösungen.
Was ist nun, wenn Spieler sich zusammenschließen können
und bindende Verträge schließen können?
Zusammen können die Spieler also mehr erreichen, einen
Mehrwert schaffen, z.B.
Einigung in Verhandlungsituationen
Einigung auf das effiziente Strategienprofil im
Gefangenendilemma (Absprache)
dann bleibt immer noch die Frage der Aufteilung des
Mehrgewinns.
und: wer soll sich mit wem zusammenschließen?
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel – 2-Spieler Einstimmigkeitsspiel
Zwei Spieler können zusammen eine Einheit eines Produktes
(z.B. einen Kuchen) produzieren.
Zur Produktion werden beide Spieler benötigt, die Spieler
allein können nichts produzieren.
Wie teilen die Spieler ihre Produktion?
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel – 3-Spieler Mehrheitsspiel
Im Gegensatz zu eben gibt es nun 3 Spieler
Jeweils zwei Spieler können zusammen eine Einheit eines
Produktes (z.B. einen Kuchen) produzieren.
Zur Produktion des Profuktes sind zwei Spieler ausreichen, die
Spieler auf sich selbst gestellt können allerdings nichts
produzieren.
Wie teilen die Spieler ihre Produktion?
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiel – Landbesitzer und Arbeiter
Es gibt 1 Landbesitzer und m Arbeiter.
Wenn der Besitz des Lords von k Arbeitern beackert wird,
entsteht ein output (Ernte, Produktion, etc) von f (k + 1).
Die Arbeiter allein können nichts erwirtschaften, da sie kein
Land zur Verfügung haben.
Wie teilen die Spieler ihre Produktion und welche Koalitionen
bilden sich?
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

kooperatives Spiel – allgemein
Die Beispiele haben etwas gemeinsam:
Spieler können sich zu Koalitionen zusammenschließen und
jede Koalition erhält einen “Wert” (Produktivität, Gewinn,
etc.)
Definition
Ein TU-Spiel ist ein Paar (N, v) , wobei
N = {1, ..., n} eine nicht-leere und endliche Menge – die
Spielermenge – ist und
v ∈ V (N) := { f : 2 N → R|f (∅) = 0 } die charakteristische
Funktion (oder auch Koalitionsfunktion).
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

kooperatives Spiel – allgemein
Spieler: Personen, Institutionen,...
Teilmengen von N/Elemente von 2 N : Koalitionen
Menge aller Koalitionsfunktionen für N: V (N)
Koalitionsfunktion gibt für jede Koalition den erzielbaren
Wert an
beliebig unter den jeweiligen Koalitionären verteilbar
Notation:
Für eine Koalition S ⊆ N notiert v(S) den Gesamtwert der
Koalition.
Der Vektor x = (x 1 , ..., x n ) beschreibt die Auszahlungen aller
Spieler.
Die Summe der Auszahlungen der Spieler einer Koalition sei
mit x(S) = ∑ i∈S x i bezeichnet.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

mögliche Eigenschaften von kooperativen Spielen
Nicht-Negativität: v (K) ≥ 0 für alle K ⊆ N.
Monotonie: v (K) ≥ v (S) für alle K, S ⊆ N mit S ⊆ K.
Superadditivität: v (S ∪ K) ≥ v (S) + v (K) für alle
K, S ⊆ N mit S ∩ K = ∅.
Konvexität: v (S ∪ K) + v(S ∩ K) ≥ v (S) + v (K) für alle
K, S ⊆ N.
Ein konvexes Spiel ist immer superadditiv!
Subadditivität: v (S ∪ K) ≤ v (S) + v (K) für alle K, S ⊆ N
mit S ∩ K = ∅.
Symmetrisch: v (K) = v (S) für alle S, K ⊆ N, |S| = |K|.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung der Beispiele
2-Spieler Einstimmigkeitsspiel:
Zwei Spieler können zusammen eine Einheit eines Produktes
(z.B. einen Kuchen) produzieren.
Zur Produktion werden beide Spieler benötigt, die Spieler
allein können nichts produzieren.
daher läßt sich das Spiel formal darstellen durch:
N = {1, 2} (2 Spieler)
v({1}) = v({2}) = 0 (alleine produzieren sie nichts)
v({1, 2}) = 1 (zusammen produzieren sie eine Einheit)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung der Beispiele
2-Spieler Einstimmigkeitsspiel, Eigenschaften:
nicht negativ
monoton
superadditiv
konvex
symmetrisch
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung der Beispiele
3-Spieler Mehrheitsspiel:
Es gibt 3 Spieler.
Jeweils zwei Spieler können zusammen eine Einheit eines
Produktes (z.B. einen Kuchen) produzieren.
Zur Produktion des Profuktes sind zwei Spieler ausreichen, die
Spieler auf sich selbst gestellt können allerdings nichts
produzieren.
daher läßt sich das Spiel formal darstellen durch:
N = {1, 2, 3} (3 Spieler)
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0 (alleine produzieren sie nichts)
v({1, 2}) = v({1, 3} = v({2, 3} = v({N}) = 1 (mindestens
zwei produzieren eine Einheit)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung der Beispiele
3-Spieler Mehrheitsspiel, Eigenschaften:
aber:
nicht negativ
monoton
superadditiv
symmetrisch
es ist nicht konvex, da für S = {1, 2} und K = {2, 3} gilt,
dass S ∪ K = {1, 2, 3} und S ∩ K = {2} und
v(S) + v(K) = 1 + 1 = 2 > v(S ∪ K) + v(S ∩ K) = 1 + 0.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung der Beispiele
Landbesitzer und Arbeiter:
Es gibt 1 Landbesitzer und m Arbeiter.
Wenn der Besitz des Lords von k Arbeitern beackert wird,
entsteht ein output (Ernte, Produktion, etc) von f (k + 1).
Die Arbeiter allein können nichts erwirtschaften, da sie kein
Land zur Verfügung haben.
daher läßt sich das Spiel formal darstellen durch:
N = {1, ..., m + 1} (wobei Sp.1 der Landbesitzer und die
anderen die Arbeiter)
die Koalitionsfunktion ist
{
0 wenn 1 /∈ S
v(S) =
f (k + 1) wenn 1 ∈ S und |S| = k + 1
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Formale Darstellung der Beispiele
Landbesitzer und Arbeiter, Eigenschaften:
aber:
nicht negativ
monoton
superadditiv
nicht symmetrisch, da für S = {1} und K = {i} für i ≠ 1 gilt,
dass zwar |S| = |K| = 1 aber v(S) = f (1) und v(K) = 0.
es ist nicht (unbedingt) konvex, da für S = {1, 2} und
K = {1, 3}: v(S) + v(K) = f (2) + f (2) ≤ f (3) + f (1) =
v(S ∪ K) + v(S ∩ K) = 1 + 0 nur dann wenn f eine konvexe
Funktion ist.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Auszahlungen
Wir wissen nun welche Koalitionen welche Werte
erwirtschaften können.
Zentrale Frage (wie bei kooperativen Verhandlungsspielen):
Wie wird der erzielte Wert aufgeteilt, d.h. welche
Auszahlungen erhält jeder einzelne Spieler?
Definition
Die Menge der zulässigen Auszahlungen (auch Präimputationen
genannt) ist gegeben durch:
X ∗ (v) := { x ∈ R n |x(N) ≤ v(N) } .
Die Menge der zulässigen Auszahlungsvektoren sind die
Auszahlungen, so dass nicht mehr verteilt wird, als in der
großen Koalition N (wenn alle Spieler an einem Strang ziehen)
erwirtschaftet werden kann.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Lösungskonzepte für kooperative Spiele
Präimputationen grenzen die Menge der Lösungen bereits ein
auf die Menge der Auszahlungen, die zulässig sind.
Wir wollen nun Lösungskonzepte für kooperative Spiele
definieren.
Definition
Es sei G die Menge aller kooperativen Spiele. Eine Lösung L ist eine
Abbildung, die jedem kooperativen Spiel (N, v) ∈ G eine Menge
von zulässigen Auszahlungsvektoren L(N, v) ⊆ X ∗ (v) zuordnet.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Lösungskonzepte für kooperative Spiele: Der Kern
Definition
Der Kern eines kooperativen Spiels (N, v), bezichnet als C(v), ist
die Menge der Auszahlungsvektoren, so dass:
C(v) := { x ∈ X ∗ (v)| x(S) ≥ v(S) ∀S ⊆ N }
für jede Koalition S ⊆ N gilt, dass x(S) = ∑ i∈S x i ≥ v(S).
jede Koalition bekommt zumindest, dass was sie selbst
erwirtschaften kann.
insbesondere bekommt jeder einzelne Spieler mindestens das,
was er alleine erwirtschaftet x i ≥ v({i}).
für keine Koalition lohnt es sich, von einem Auszahlungsvektor
im Kern abzuweichen (keine Koalition kann, wenn auf sich
alleine gestellt, seine Mitglieder besser stellen)
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiele: der Kern des 2-Spieler Einstimmigkeitsspiels
Das 2-Spieler Einstimmigkeitsspiel:
N = {1, 2} (2 Spieler)
v({1}) = v({2}) = 0 (alleine produzieren sie nichts)
v({1, 2}) = 1 (zusammen produzieren sie eine Einheit)
Für Auszahlungsvektoren im Kern muß gelten:
Zulässigkeit: x(N) = x 1 + x 2 ≤ v(N) = v({1, 2}) = 1
Koalitionen bekommen mindestens ihren Eigenanteil:
x({1}) = x 1 ≥ v({1}) = 0, x({2}) = x 2 ≥ v({2}) = 0.
x({1, 2}) = x 1 + x 2 ≥ v({1, 2}) = 1.
Daher ist der Kern des 2-Spieler Einstimmigkeitsspiels:
C(v) = {x ∈ R 2 | x 1 + x 2 = 1, x 1 , x 2 ≥ 0}
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiele: Der Kern des Landbesitzer und Arbeiter Spiels
Betrachte das Spiel mit Landbesitzer und 2 Arbeitern, so dass
für die Produktionsfunktion f (x) = x gilt:
N = {1, 2, 3}
v({2}) = v({3}) = v({2, 3}) = 0
v(1) = 1, v({1, 2}) = v({1, 3}) = 2 , v(N) = v({1, 2, 3}) = 3.
Die zulässigen Auszahlungsvektoren sind daher: x ∈ R 3 , so
dass x 1 + x 2 + x 3 ≤ 3.
im Kern muss gelten:
Koalitionen bekommen mindestens ihren Eigenanteil:
x 1 ≥ v({1}) = 1
x 2 ≥ v({2}) = 0, x 3 ≥ v({2}) = 0
x({1, 2}) = x 1 + x 2 ≥ v({1, 2}) = 2,
x({1, 3}) = x 1 + x 2 ≥ v({1, 2}) = 2
x(N) = x 1 + x 2 + x 3 ≥ v(N) = 3
der Auszahlungsvektor ist zulässig, also x 1 + x 2 + x 3 ≤ 3.
⇒ daher ist der Kern: C(v) = {x ∈ R 3 |x 1 ≥ 1, 1 ≥ x 2 , x 3 ≥ 0}.
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Beispiele: der Kern des 3-Spieler Mehrheitsspiels
Das 3-Spieler Mehrheitsspiel:
N = {1, 2, 3}
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
v({1, 2}) = v({1, 3} = v({2, 3} = v({N}) = 1
Für Auszahlungsvektoren im Kern muß gelten:
Zulässigkeit: x(N) = x 1 + x 2 + x 3 ≤ v(N) = v({1, 2, 3}) = 1
Koalitionen bekommen mindestens ihren Eigenanteil:
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0;
x 1 + x 2 ≥ 1, x 1 + x 3 ≥ 1, x 2 + x 3 ≥ 1;
x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1.
Es gibt keinen Auszahlungsvektor der dies erfüllt. Daher ist der
Kern des 3-Spieler Mehrheitsspiels leer:
C(v) = ∅
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie

Nichtleerheit des Kerns
Zur Erinnerung, Konvexität eine kooperativen Spiels:
v (S ∪ K) + v(S ∩ K) ≥ v (S) + v (K) für alle K, S ⊆ N.
Theorem
Falls v konvex ist, dann ist der Kern nicht leer, C(v) ≠ ∅.
Bei konvexen Spielen können wir den Spielern immer
Auszahlungsvektoren zuordnen, so dass keine Koalition sich
durch Abweichen verbessern kann.
Das 3-Spieler Mehrheitsspiel ist nicht konvex!
Tim Hellmann
Einführung in die Spieltheorie