Aufgabe - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Bessenrodt
Dr. Merziger
Lineare Algebra I
5. Übungsblatt
Abgabe: 21.11.2002 vor der Übung
14. November 2002
Aufgabe 20 ( 10 Punkte )
Sei G Gruppe und für g ∈ G sei α g : G → G definiert durch α g (x) := g −1 xg. Zeigen Sie:
(a) α g ist ein Automorphismus (d.h. Isomorphismus von G auf G)
und bestimmen Sie α −1
(b)
(c)
g .
A G := {α g | g ∈ G} ist bezüglich des Hintereinanderausführens von Abbildungen
eine Gruppe.
Die Gruppe A G ist zur Faktorgruppe G/Z(G) isomorph: A G ≃ G/Z(G).
Z(G) = {g ∈ G | gx = xg , für alle x ∈ G}, Zentrum von G.
Aufgabe 21 ( 3 Punkte )
Sei IR 2 = IR × IR der Ring mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation
und f : IR 2 → IR 2 mit f(x, y) = (x, x).
Zeigen Sie: f ist ein Ring–Endomorphismus und bestimmen Sie Bild f und Kern f.
Aufgabe 22 ( 9 Punkte )
Sei Q[X] der Polynomring über dem Körper Q und f, g ∈ Q[X]. Zeigen Sie:
(a) deg (f + g) ≤ max {deg f, deg g},
(b) deg(f · g) = deg f + deg g.
Aufgabe 23 ( 8 Punkte )
(a)
(b)
Seien R, S kommutative Ringe mit 1 und s ∈ S. Zeigen Sie:
Ist ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, dann gibt es genau
einen Ringhomomorphismus Φ : R[X] → S mit Φ| R = ϕ und Φ(X) = s.
Gegeben seien der Ring Z 2 , die identische Abbildung id : Z 2 → Z 2 und
die kanonische Einbettung ι : Z 2 → Z 2 [X].
(1) Bestimmen Sie Φ 0 , Φ 1 : Z 2 [X] → Z 2
mit id = Φ 0 ◦ ι bzw. id = Φ 1 ◦ ι und Φ 0 (X) = 0 bzw. Φ 1 (X) = 1.
(2) Bestimmen Sie Kern Φ 0 und Kern Φ 1 .
Aufgabe 24 ∗ ( 10 Punkte )
Zeigen Sie:
Die Gruppe aller Automorphismen Aut (S 3 ) der Gruppe S 3 ist isomorph zu S 3 .
Hinweis :
Benutzen Sie Aufgabe 20(c) und überlegen Sie, dass S 3 höchstens 6 Automorphismen
besitzt, da bei einem Automorphismus Elemente in solche gleicher
Ordnung übergehen.

Tutorenprogramm
Aufgabe Tu 12
Es sei Z 2 := ( {0, 1}, +, ·).
Das Produkt R := Z 2 × Z 2 ist bekanntlich mit der komponentenweisen Addition und
Multiplikation ein kommutativer Ring mit 1.
(a)
(b)
(c)
Stellen Sie die Verknüpfungstafeln für (R, +) und (R, ·) auf und
zeigen Sie, dass (R, +) isomorph zur Klein schen Vierergruppe K 4 ist.
Ist (R, ·) eine Gruppe? Ist (R \ {(0, 0)}, ·) eine Gruppe? (Begründungen!)
Zeigen Sie:
Die Abbildung ϕ :
R → R
(x, y) ↦→ (x 2 , y 2 )
ist ein Ringisomorphismus (welcher?).
Aufgabe Tu 13
Zeigen Sie:
Ist f : R → S ein Ringisomorphismus, so ist auch f −1 : S → R ein Ringisomorphismus.
Aufgabe Tu 14
Zeigen Sie:
Ist R ein Ring und X ≠ ∅, so ist für jedes x 0 ∈ X
die Abbildung ϕ x0 :
Abb (X, R) → R
f ↦→ f(x 0 )
ein Ringepimorphismus.