Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.7 Nullstellen und Fixpunkte 97
Abbildung 4.7: Fixpunkt-Iteration
Es sei f : [a, b] → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, f(x ∗ ) =
0, f ′ (x ∗ ) ≠ 0. Wir betrachten einen Punkt x 0 nahe x ∗ . Die Tangente im Punkt
(x 0 , f(x 0 )) hat die Gleichung
Sie schneidet die x-Achse im Punkt
y = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ).
x 1 = x 0 − f(x 0)
f ′ (x 0 ) .
Wenn x 0 nahe genug an x ∗ gewählt ist, so liegt der Punkt x 1 näher an der
Nullstelle als x 0 (siehe Abbildung 4.8). Darauf basiert das Newton-Verfahren:
Satz 4.7.2 (Newton-Verfahren) Es sei f : [a, b] → R eine zweimal stetig
differenzierbare Funktion, f(x ∗ ) = 0, f ′ (x ∗ ) ≠ 0. Dann gibt es ein Intervall
I ⊆ [a, b] mit x ∗ ∈ I, für das gilt:
1. Berechnung. Für einen beliebigen Startwert x 0 ∈ I konvergiert die rekursiv
definierte Folge
x n+1 := x n − f(x n)
, n = 0, 1, 2, . . . ,
f ′ (x n )