Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

96 Kapitel 4. Differentiation
4.7 Nullstellen und Fixpunkte
In vielen Fällen ist es nötig, die Nullstellen einer differenzierbaren Funktion
f : [a, b] → R zu bestimmen. Dies ist oft nur näherungsweise möglich, d.h.
man bestimmt eine Folge (x n ) n∈N von reellen Zahlen, die gegen eine Nullstelle
konvergiert. Die Nullstellenbestimmung kann man auch als Fixpunktproblem
interpretieren:
Definition Eine Zahl x ∗ ∈ [a, b] heißt Fixpunkt von f : [a, b] → R, wenn
f(x ∗ ) = x ∗ gilt.
Jede Nullstelle x ∗ von f ist Fixpunkt der Funktion
denn es gilt
g : [a, b] → R, g(x) = f(x) + x,
f(x ∗ ) = 0 ⇔ g(x ∗ ) = f(x ∗ ) + x ∗ = x ∗ .
Jeder Fixpunkt x ∗ von f ist Nullstelle der Funktion
h : [a, b] → R, h(x) = f(x) − x,
denn es gilt
f(x ∗ ) = x ∗ ⇔ h(x ∗ ) = f(x ∗ ) − x ∗ = 0.
Satz 4.7.1 (Fixpunktsatz) Es sei f : [a, b] → R eine stetig differenzierbare
Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(a) a ≤ f(x) ≤ b für alle x ∈ [a, b].
(b) Es gibt eine Konstante 0 ≤ K < 1 mit |f ′ (x)| ≤ K für alle x ∈ [a, b].
Dann gilt:
1. Existenz. Es gibt genau einen Fixpunkt x ∗ ∈ [a, b], d.h. genau ein x ∗ ∈
[a, b] mit f(x ∗ ) = x ∗ .
2. Berechnung. Es sei x 0 ∈ [a, b] ein beliebiger Startwert. Dann konvergiert
die rekursiv definierte Folge
gegen den Fixpunkt x ∗ .
3. Fehlerabschätzung. Es gilt
x n+1 := f(x n ), n = 0, 1, 2, . . . ,
|x n − x ∗ | ≤ K
1 − K |x n − x n−1 | (n = 1, 2, 3, . . .).