Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.6 Die Regel von de L’Hospital 95
Satz 4.6.1 (Regel von de L’Hospital) Es seien f, g : (a, b) → R differenzierbar,
g ′ (x) ≠ 0 für alle x ∈ (a, b). Es gelte
(a) f(x) → 0, g(x) → 0 oder f(x) → ∞, g(x) → ∞ für x → b − .
(b) lim x→b − f ′ (x)
g ′ (x)
existiert (∞, −∞ zugelassen).
Dann gilt
f(x)
lim
x→b − g(x) = lim f ′ (x)
x→b − g ′ (x)
Entsprechend für x → a + , x → ∞, x → −∞.
Kurzgefasst: Ist
so ist
f(x)
lim
x→b − g(x) von der Form 0 0 bzw. ∞ ∞ ,
f(x)
lim
x→b − g(x) = lim f ′ (x)
, falls der letzte Grenzwert existiert.
x→b − g ′ (x)
Ist der letzte Grenzwert wieder von der Form 0 oder ∞ , so ist die Regel
0 ∞
erneut anzuwenden.
Beispiel 4.6.1
(1) lim
x→0
sin x
x
= lim cos x
x→0 1
= 1.
ln x
(2) lim √ = lim
x→∞ x
1
x
x→∞
1 1
2
√ x
= lim
√ x
2
x→∞ x
= lim
x→∞
2
√ x
= 0.
e x
(3) lim
x→∞ x = lim
lim
x→∞
x→∞
e x
x n = lim
x→∞
e x
1 = ∞.
e x
= · · · = lim
nxn−1 x→∞
e x
n! = ∞.