Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.5 Elementare Funktionen 91
(4)
tan ′ 1
x =
(x ≠ π + kπ, k ∈ Z),
(cos x) 2 2
cot ′ x = − 1 (x ≠ kπ, k ∈ Z)
(sin x) 2
Arcusfunktionen
Wir betrachten nun die Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen. Sie sind
nicht global umkehrbar, aber über gewissen Teilintervallen, auf denen sie
streng monoton sind.
Definition (Arcussinus) Die Funktion sin ist auf dem Intervall [− π, π]
2 2
streng monoton wachsend. Umkehrfunktion:
[
arcsin : [−1, 1] → − π 2 , π ]
2
y = arcsin x ⇔ sin y = x und − π 2 ≤ y ≤ π 2 .
Der Graph ist in Abbildung 4.2 dargestellt. Ableitung:
arcsin ′ x =
1
√
1 − x
2
für − 1 < x < 1.
sin
arcsin
Abbildung 4.2: Die Funktionen sin und arcsin
Definition (Arcuscosinus) Die Funktion cos ist auf dem Intervall [0, π]
streng monoton fallend. Umkehrfunktion:
arccos : [−1, 1] → [0, π]
y = arccos x ⇔ sin y = x und 0 ≤ y ≤ π.