Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

90 Kapitel 4. Differentiation
(3) (cos x) 2 + (sin x) 2 = 1.
(4) cos(x + 2kπ) = cos x, sin(x + 2kπ) = sin x,
cos und sin sind periodisch von der Periode 2π.
(5) sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z,
cos x = 0 ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z.
2
(6) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.
(7) sin(x + π) = cos x, cos(x − π ) = sin x.
2 2
(8) sin x ± sin y = 2 sin x±y , 2
cos x + cos y = 2 cos x+y cos x−y ,
2 2
cos x − cos y = −2 sin x+y sin x−y
2
2
cos x∓y
2 .
(9) cos(2x) = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1,
sin(2x) = 2 sin x cos x,
1 + cos x = 2 cos 2 x 2 ,
1 − cos x = 2 sin 2 x 2 .
(10) sin ′ x = cos x, cos ′ x = − sin x.
Definition (Tangens- und Cotangens)
Wertetabelle:
π
x 0
6
1
tan 0
cot
n.d.
Eigenschaften von tan und cot
tan x := sin x
cos , x ≠ π + kπ, k ∈ Z,
2
cot x := cos x , x ≠ kπ, k ∈ Z.
sin x
π
4
π
3
π
2
√
3√
√ 3 1
√ 3 n.d. n.d. = nicht definiert
3 1
1
3 3 0
(1) tan(−x) = − tan x, cot(−x) = − cot x, tan und cot sind ungerade.
(2) tan(x + π) = tan x, cot(x + π) = cot x,
tan und cot sind periodisch von der Periode π.
(3)
tan(x + y) =
tan x + tan y
, x, y, x + y ∈ D.
1 − tan x tan y