Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.3 Das Skalarprodukt im R n 9
Satz 1.3.4 (Eigenschaften des Abstands) (a) Für alle ⃗x, ⃗y ∈ R n gilt
d(⃗x, ⃗y) ≥ 0 und d(⃗x, ⃗y) = 0 ⇔ ⃗x = ⃗y.
(b) Für alle ⃗x, ⃗y ∈ R n gilt
d(⃗x, ⃗y) = d(⃗y, ⃗x).
(c) (Dreiecksungleichung) Für alle ⃗u, ⃗v, ⃗w ∈ R n gilt
d(⃗u, ⃗w) ≤ d(⃗u, ⃗v) + d(⃗v, ⃗w).
Beweis. (a) und (b) folgen direkt aus Satz 1.3.3 (a).
(c) folgt aus Satz 1.3.3 (c) mit ⃗x := ⃗v − ⃗u und ⃗y := ⃗w − ⃗v, also ⃗x + ⃗y = ⃗w − ⃗u.
✷
Definition Zwei Vektoren ⃗x, ⃗y ∈ R n heißen orthogonal, in Zeichen ⃗x ⊥ ⃗y,
genau dann, wenn ⃗x · ⃗y = 0 gilt.
Der Nullvektor ist orthogonal zu jedem Vektor.
Definition
Ein Vektor ⃗x ∈ R n mit |⃗x| = 1 heißt Einheitsvektor.
Ist ⃗x ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0 beliebig, so ist ⃗x
|⃗x|
ein Einheitsvektor:
∣ ∣ ⃗x
∣∣∣ ∣|⃗x|
∣ = 1 ∣∣∣
|⃗x| ⃗x =
1
∣|⃗x|
∣ ||⃗x| = 1 |⃗x| = 1.
|⃗x|
Nun wollen wir auch Winkel zwischen zwei Vektoren ⃗x, ⃗y ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0
und ⃗y ≠ ⃗0 erklären. Dazu erinnern wir zunächst an die Definition von sin α
und cos α für einen Winkel α. Ist x das Bogenmaß des Winkels α, so gilt:
x
2π =
Es gilt folgende Umrechnungstabelle:
α
360 ◦ .
Gradmaß 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 360 ◦
π π π π
Bogenmaß
π 2π
6 4 3 2