Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.5 Elementare Funktionen 89
(2) ln(a x ) = x ln a.
(3)
d
dx ax = a x ln a.
Damit ist nun auch die Potenzfunktion f(x) = x α = e α ln x (x > 0) für alle
α ∈ R definiert. Es gilt
Allgemeiner Logarithmus
d
dx xα = αx α−1 (x > 0)
Die Exponentialfunktion f(x) = a x = e x ln a zu einer Basis a > 0 ist über R
umkehrbar: Für y ∈ f(R) = (0, ∞) gilt:
y = e x ln a ⇔ x = ln y
ln a .
Definition (Allgemeiner Logarithmus zur Basis a) Für a > 0 und x ∈
(0, ∞) ist der Logarithmus zur Basis a definiert durch
Rechenregeln
(1) log a xy = log a x + log a y.
(2) log ′ a x = 1
x ln a .
Kreisfunktionen
log a x = ln x , x ∈ (0, ∞)
ln a
Die Funktionen sin und cos haben wir schon eingeführt.
−2π
− 3π 2
−π
− π 2
1
−1
cos
sin
π
π
2
3π
2
2π
Eigenschaften von sin und cos
(1) −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1.
(2) cos(−x) = cos x, cos ist gerade,
sin(−x) = − sin x, sin ist ungerade.