Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

88 Kapitel 4. Differentiation
Eigenschaften von ln
(1) ln(e x ) = x für alle x ∈ R, e ln x = x für alle x > 0.
(2) ln 1 = 0,
ln x < 0, falls 0 < x < 1,
ln x > 0, falls x > 1.
(3) Funktionalgleichung der ln-Funktion:
ln xy = ln x + ln y, ln x y
= ln x − ln y (x, y > 0)
(4) Ableitung: Die ln-Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich (0, ∞) differenzierbar
und es gilt:
ln ′ x = 1 x
(x > 0)
(4) Verhalten für x → ∞ und x → 0:
lim ln x = ∞, lim
x→∞
ln x = −∞
x→0 +
Allgemeine Potenz
Es sei a > 0, x = ln a. Es gilt für r ∈ Q
Deswegen definiert man
(e x ) r = e rx x=ln a
⇒ a r = e r ln a .
Definition (Allgemeine Potenz zur Basis a) Für a > 0 und x ∈ R
definieren wir
a x := e x ln a (a > 0)
Die Funktion f(x) = a x (x ∈ R) nennt man auch die Exponentialfunktion
zur Basis a.
Eigenschaften von a x (x, y ∈ R, a, b > 0)
(1) a x a y = a x+y ,
(ab) x = a x b x ,
(a x ) y = a xy