Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.5 Elementare Funktionen 87
Definition (Exponentialfunktion)
e x := exp(x) :=
∞∑
k=0
x k (
k! = lim 1 + x n
(e-Funktion)
n→∞ n)
Eigenschaften der e-Funktion
(1) Positivität: e 0 = 1, e x > 0 für alle x ∈ R.
(2) Funktionalgleichung der e-Funktion:
e x+y = e x e y (x, y ∈ R)
e −x = 1
e x (x ∈ R)
(3) Ableitung: Die e-Funktion ist überall differenzierbar und es gilt:
d
dx ex = e x (x ∈ R)
(4) Verhalten für x → ∞ und x → −∞:
lim
x→∞ ex = ∞,
lim
x→−∞ ex = 0
1
Definition (Logarithmus) Die e-Funktion ist auf R streng monoton wachsend
und es gilt exp(R) = (0, ∞). Die Umkehrfunktion ist der natürliche
Logarithmus:
ln : (0, ∞) → R, y = ln x ⇔ e y = x.