Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

86 Kapitel 4. Differentiation
Satz 4.4.4 (1. Extremwerttest) Es sei f : (a, b) → R eine differenzierbare
Funktion und x 0 ∈ (a, b) ein Punkt mit f ′ (x 0 ) = 0. Außerdem gebe es ein
ε > 0, so dass (x 0 − ε, x 0 + ε) ⊆ (a, b) und
f ′ (x) > 0 für x 0 − ε < x < x 0 ,
f ′ (x) < 0 für x 0 < x < x 0 + ε.
Dann hat f in x 0 ein lokales Maximum.
Entsprechend ist der umgekehrte Vorzeichenwechsel von f ′ hinreichend
für ein lokales Minimum.
Satz 4.4.5 (2. Extremwerttest) Es sei f : (a, b) → R zweimal stetig differenzierbar
und x 0 ∈ (a, b) mit f ′ (x 0 ) = 0. Dann gilt
f ′′ (x 0 )
{ < 0
> 0 ⇒ f hat in x 0 ein lokales
{ Maximum
Minimum
Satz 4.4.6 (Krümmungstest) Es sei f : I → R zweimal stetig differenzierbar.
Dann gilt
f ′′ { > 0
< 0 ⇒ Die Kurve y = f(x) ist { konvex (Linkskrümmung)
konkav (Rechtskrümmung)
Definition Ein Wendepunkt von f ist ein Punkt x 0 ∈ I, bei dem y =
f(x) von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung oder umgekehrt
übergeht.
Satz 4.4.7 (Wendepunkttest)
f ′′ (x 0 ) = 0, f ′′′ (x 0 ) ≠ 0 ⇒ f hat in x 0 einen Wendepunkt.
4.5 Elementare Funktionen
Wir wollen nun den Kreis der Funktionen, die wir bisher betrachtet haben,
erweitern.
Die Exponentialfunktion
In §3.2 hatten wir gesehen, dass die Reihe
∞∑
k=0
für jedes x ∈ R absolut konvergiert. Wir definieren nun
x k
k!