Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.4 Extremwerte und Mittelwertsatz 85
√ √
1
(1) − , 3
(2) −1, 2.
Es gilt
1
, 3
√
1
f(−
3 ) = 2 √ √ √
1 1 1
3 3 , f( 3 ) = −2 , f(−1) = 0, f(2) = 6.
3 3
√ √
Also nimmt f das Minimum − 2 1
in 1
und das Maximum 6 in 2 an.
3 3 3
Wir behandeln nun grundlegende Sätze über differenzierbare Funktionen.
Satz 4.4.2 (Mittelwertsatz) Es sei a < b, f : [a, b] → R stetig und f :
(a, b) → R differenzierbar. Dann gibt es (mindestens) ein x 0 ∈ (a, b), so dass
f ′ (x 0 ) =
f(b) − f(a)
.
b − a
Anschaulich: Für mindestens ein x 0 ∈ (a, b) ist die Tangente in x 0 parallel
zur Sekante durch die Punkte A = (a, f(a)) und B = (b, f(b)).
Physikalische Deutung: Bei der durch s(t) beschriebenen geradlinigen Bewegung
wird zu mindestens einem Zeitpunkt t 0 im Zeitintervall [a, b] die
durchschnittliche Geschwindigkeit
v =
s(b) − s(a)
b − a
tatsächlich erreicht: v(t 0 ) = ·s (t 0 ) = v.
Wir stellen nun Anwendungen des Mittelwertsatzes zur Kurvendiskussion
zusammen.
Satz 4.4.3 Es sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine differenzierbare
Funktion. Dann gilt
(a) f ′ (x) > 0 (bzw. f ′ (x) < 0) für alle x ∈ I
⇒ f ist auf I streng monoton wachsend (bzw. fallend).
(b) f ′ (x) ≥ 0 (bzw. f ′ (x) ≤ 0) für alle x ∈ I
⇔ f ist auf I monoton wachsend (bzw. fallend).
(c) f ′ (x) = 0 für alle x ∈ I ⇔ f ist auf I konstant.