Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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84 Kapitel 4. Differentiation Extremwertberechnung Definition Es sei D ⊆ R, f : D → R eine Funktion. Man sagt, f hat in x 0 ∈ D ein globales (oder absolutes) Maximum, wenn f(x) ≤ f(x 0 ) für alle x ∈ D gilt. Man sagt, f hat in x 0 ∈ D ein lokales (oder relatives) Maximum, wenn es ein offenes Intervall I mit Mittelpunkt x 0 gibt, so dass f(x) ≤ f(x 0 ) für alle x ∈ I ∩ D gilt. x 0 heißt globale oder lokale Maximumstelle, f(x 0 ) das globale oder lokale Maximum. Entsprechend sind globales oder lokales Minimum, globale oder lokale Minimumstelle definiert. Ein Maximum oder Minimum heißt auch ein Extremum (oder ein Extremwert). Satz 4.4.1 (Lokales Extremwertkriterium) Es sei I ein offenes Intervall und f : I → R eine differenzierbare Funktion. Dann gilt: x 0 ∈ I lokale Extremstelle von f ⇒ f ′ (x 0 ) = 0. Satz 4.4.1 liefert ein notwendiges Kriterium für eine lokale Extremstelle: f ′ (x 0 ) = 0. Definition Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion f ist eine Zahl x 0 , so dass f ′ (x 0 ) = 0. Der Funktionswert f(x 0 ) an einem kritischen Punkt x 0 heißt ein kritischer Wert von f. Bei der Extremwertbestimmung geht man also wie folgt vor. Es sei f eine Funktion, die auf [a, b] definiert und auf (a, b) differenzierbar ist. Um die Maxima und Minima von f zu finden, müssen zwei Arten von Punkten betrachtet werden: (1) die kritischen Punkte von f auf (a, b), (2) die Randpunkte a und b des Intervalls. Beispiel 4.4.1 Wir betrachten die Aufgabe, die Extremwerte der Funktion f(x) = x 3 − x auf dem Intervall [−1, 2] zu bestimmen. Es gilt f ′ (x) = 3x 2 − 1, √ √ 1 die kritischen Punkte sind also und − 1. Beide Punkte liegen in (−1, 2), 3 3 also haben wir als Kandidaten für mögliche Extremstellen
4.4 Extremwerte und Mittelwertsatz 85 √ √ 1 (1) − , 3 (2) −1, 2. Es gilt 1 , 3 √ 1 f(− 3 ) = 2 √ √ √ 1 1 1 3 3 , f( 3 ) = −2 , f(−1) = 0, f(2) = 6. 3 3 √ √ Also nimmt f das Minimum − 2 1 in 1 und das Maximum 6 in 2 an. 3 3 3 Wir behandeln nun grundlegende Sätze über differenzierbare Funktionen. Satz 4.4.2 (Mittelwertsatz) Es sei a < b, f : [a, b] → R stetig und f : (a, b) → R differenzierbar. Dann gibt es (mindestens) ein x 0 ∈ (a, b), so dass f ′ (x 0 ) = f(b) − f(a) . b − a Anschaulich: Für mindestens ein x 0 ∈ (a, b) ist die Tangente in x 0 parallel zur Sekante durch die Punkte A = (a, f(a)) und B = (b, f(b)). Physikalische Deutung: Bei der durch s(t) beschriebenen geradlinigen Bewegung wird zu mindestens einem Zeitpunkt t 0 im Zeitintervall [a, b] die durchschnittliche Geschwindigkeit v = s(b) − s(a) b − a tatsächlich erreicht: v(t 0 ) = ·s (t 0 ) = v. Wir stellen nun Anwendungen des Mittelwertsatzes zur Kurvendiskussion zusammen. Satz 4.4.3 Es sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine differenzierbare Funktion. Dann gilt (a) f ′ (x) > 0 (bzw. f ′ (x) < 0) für alle x ∈ I ⇒ f ist auf I streng monoton wachsend (bzw. fallend). (b) f ′ (x) ≥ 0 (bzw. f ′ (x) ≤ 0) für alle x ∈ I ⇔ f ist auf I monoton wachsend (bzw. fallend). (c) f ′ (x) = 0 für alle x ∈ I ⇔ f ist auf I konstant.
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84 Kapitel 4. Differentiation<br />
Extremwertberechnung<br />
Definition Es sei D ⊆ R, f : D → R eine Funktion.<br />
Man sagt, f hat in x 0 ∈ D ein globales (oder absolutes) Maximum, wenn<br />
f(x) ≤ f(x 0 ) für alle x ∈ D gilt.<br />
Man sagt, f hat in x 0 ∈ D ein lokales (oder relatives) Maximum, wenn es<br />
ein offenes Intervall I mit Mittelpunkt x 0 gibt, so dass f(x) ≤ f(x 0 ) für alle<br />
x ∈ I ∩ D gilt.<br />
x 0 heißt globale oder lokale Maximumstelle, f(x 0 ) das globale oder lokale<br />
Maximum.<br />
Entsprechend sind globales oder lokales Minimum, globale oder lokale<br />
Minimumstelle definiert. Ein Maximum oder Minimum heißt auch ein Extremum<br />
(oder ein Extremwert).<br />
Satz 4.4.1 (Lokales Extremwertkriterium) Es sei I ein offenes Intervall<br />
und f : I → R eine differenzierbare Funktion. Dann gilt:<br />
x 0 ∈ I lokale Extremstelle von f ⇒ f ′ (x 0 ) = 0.<br />
Satz 4.4.1 liefert ein notwendiges Kriterium für eine lokale Extremstelle:<br />
f ′ (x 0 ) = 0.<br />
Definition Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion f ist eine<br />
Zahl x 0 , so dass<br />
f ′ (x 0 ) = 0.<br />
Der Funktionswert f(x 0 ) an einem kritischen Punkt x 0 heißt ein kritischer<br />
Wert von f.<br />
Bei der Extremwertbestimmung geht man also wie folgt vor. Es sei f<br />
eine Funktion, die auf [a, b] definiert und auf (a, b) differenzierbar ist. Um<br />
die Maxima und Minima von f zu finden, müssen zwei Arten von Punkten<br />
betrachtet werden:<br />
(1) die kritischen Punkte von f auf (a, b),<br />
(2) die Randpunkte a und b des Intervalls.<br />
Beispiel 4.4.1 Wir betrachten die Aufgabe, die Extremwerte der Funktion<br />
f(x) = x 3 − x auf dem Intervall [−1, 2]<br />
zu bestimmen. Es gilt<br />
f ′ (x) = 3x 2 − 1,<br />
√ √<br />
1<br />
die kritischen Punkte sind also und − 1. Beide Punkte liegen in (−1, 2),<br />
3 3<br />
also haben wir als Kandidaten für mögliche Extremstellen
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