Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.4 Extremwerte und Mittelwertsatz 83
Beispiel 4.3.4 Für die Ableitung von x = y 1 n gilt nach Satz 4.3.2:
dx
dy = 1 dy
dx
= 1
nx = 1
n−1 ( ) n−1
= 1
n y 1 n y 1 n −1 .
n
Also folgt (Vertauschung von x und y)
d
( )
x 1 n = 1 dx n x 1 n −1 (x > 0).
Insgesamt erhalten wir für α ∈ Q die Formel:
d
dx (xα ) = αx α−1 (x > 0)
4.4 Extremwerte und Mittelwertsatz
Wir betrachten zunächst
Höhere Ableitungen
Es sei f : I → R, I ⊆ R Intervall, eine differenzierbare Funktion. Die Ableitung
der Ableitung f ′ von f bezeichnen wir, falls sie existiert, mit f ′′ . Andere
Bezeichnungen:
f ′′ (x) = d ( ) d
dx dx f(x) = d2
dx f(x). 2
Allgemeiner:
f (0) (x) := f(x),
f (1) (x) := f ′ (x),
f (2) (x) := f ′′ (x) = d2
dx 2 f(x),
.
.
.
f (n) (x) := d
dx f (n−1) (x) = dn
dx n f(x).
Definition Man sagt, f ist n-mal differenzierbar (bzw. stetig differenzierbar),
wenn die n-te Ableitung f (n) (x) existiert (bzw. existiert und stetig ist).
Warnung Eine differenzierbare Funktion braucht nicht notwendig auch
zweimal differenzierbar zu sein. Gegenbeispiel: f(x) = x|x|, f ′ (x) = 2|x|.
Wir kommen nun zu der auch aus der Schule bekannten