Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

82 Kapitel 4. Differentiation
Satz 4.3.1 Jede streng monoton wachsende oder streng monoton fallende
Funktion f : D → R ist umkehrbar.
Satz 4.3.2 Es sei f eine über einem Intervall I ⊆ R umkehrbare und differenzierbare
Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : f(I) → R in allen
x 0 ∈ f(I) mit f ′ (f −1 (x 0 )) ≠ 0 differenzierbar und es gilt
In der Notation von Leibniz:
(f −1 ) ′ (x 0 ) =
dx
dy = 1 dy
dx
1
f ′ (f −1 (x 0 ))
Beispiel 4.3.3 f(x) = x n , x ∈ R, n ∈ N \ {0}.
1. Fall: n gerade.
Wegenf(−x) = (−x) n = x n = f(x) ist f nicht über ganz R umkehrbar. Auf
R + = {x ∈ R | x ≥ 0} ist f streng monoton wachsend. Nach Satz 4.3.1 ist f
auf R + umkehrbar. Deshalb hat die Gleichung y = x n zu jedem y ∈ f(R + ) =
R + in R + genau eine Lösung, sie heißt n-te Wurzel von y, in Zeichen x = n√ y.
Die Umkehrfunktion von f ist die Funktion
f −1 : R + → R + , f −1 (x) = n√ x.
2. Fall: n ungerade.
Dann ist f auf ganz R streng monoton wachsend. Deshalb ist für ungerades
n die n-te Wurzel für alle x ∈ R erklärt. Die Umkehrfunktion von f ist
Insgesamt ergibt sich
f −1 : R → R, f −1 (x) = n√ x.
y = n√ x ⇔ y n = x für
{ x ≥ 0 falls n gerade,
x ∈ R falls n ungerade.
Allgemeiner setzt man für x ∈ R, x > 0, n ∈ N \ {0}, m ∈ Z
Damit ist die Potenzfunktion
x 1 n :=
(
n√ x,
) m
x m n := x 1 n .
f : (0, ∞) → (0, ∞),
f(x) = x α
für jeden rationalen Exponenten α ∈ Q erklärt. (Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen
wird einheitlich der Definitionsbereich D = (0, ∞) festgelegt.)