Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.3 Umkehrfunktionen 81
4.3 Umkehrfunktionen
Definition
Eine Funktion f : D → R (D ⊆ R) heißt
(a) monoton wachsend (bzw. monoton fallend), wenn für alle x 1 , x 2 ∈ D
mit x 1 < x 2 die Ungleichung f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (bzw. f(x 1 ) ≥ f(x 2 )) gilt.
(b) streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn für alle
x 1 , x 2 ∈ D mit x 1 < x 2 die strikte Ungleichung f(x 1 ) < f(x 2 ) (bzw.
f(x 1 ) > f(x 2 )) gilt.
Beispiel 4.3.1 f(x) = x 2 ist auf (−∞, 0] streng monoton fallend und auf
[0, ∞) streng monoton wachsend.
Definition Es sei D ⊆ I ⊆ R, f : I → R eine Funktion. Man sagt, f ist
über D umkehrbar, wenn zu jedem y ∈ f(D) die Gleichung y = f(x) genau
eine Lösung x ∈ D besitzt. In diesem Fall gibt es eine Umkehrfunktion
f −1 : f(D) −→ D
y ∈ f(D) ↦−→ eindeutig bestimmte Zahl x ∈ D mit f(x) = y
d.h.
f −1 (y) = x ⇔ y = f(x).
Besitzt f über D eine Umkehrfunktion f −1 : f(D) → D, dann gilt
f(f −1 (y)) = y für alle y ∈ f(D),
f −1 (f(x)) = x für alle x ∈ D.
Warnung f −1 ist nicht zu verwechseln mit 1 f !
Beispiel 4.3.2 (a) Für a ≠ 0 ist f(x) = ax + b über ganz R umkehrbar mit
Umkehrfunktion
f −1 (y) = 1 (y − b), y ∈ R.
a
(b) f(x) = x 2 ist nicht über ganz R umkehrbar, wohl aber über R + = [0, ∞)
mit f −1 (y) = √ y und über R − = (−∞, 0] mit f −1 = − √ y.
Ist f : D → R umkehrbar mit Umkehrfunktion f −1 : f(D) → R, so
erhält man den Graphen von f −1 aus dem Graphen von f durch Spiegelung
an der Geraden y = x. Denn bei dieser Spiegelung geht ein Punkt mit den
Koordinaten (x, y) über in einen Punkt mit den Koordinaten (y, x), also aus
(x, f(x)) wird (f(x), x) = (y, f −1 (y)).