Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

80 Kapitel 4. Differentiation
4.2 Rechenregeln
Satz 4.2.1 (Differentiationsregeln) Es seien f, g : I → R in x 0 differenzierbar.
Dann gilt:
(a) (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 )
(b) (λf) ′ (x 0 ) = λf ′ (x 0 ) für λ ∈ R
(c) (f · g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g ′ (x 0 )
(Produktregel)
( ) ′ f
(d) (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) − f(x 0 )g ′ (x 0 )
falls g(x
g
g(x 0 ) 2 0 ) ≠ 0
( ) ′ 1
(x 0 )
g
(Quotientenregel)
= − g′ (x 0 )
g(x 0 ) falls g(x 0) ≠ 0
2
Beispiel 4.2.1 (1) Jedes Polynom
ist überall differenzierbar und es gilt
p(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 0
p ′ (x) = na n x n−1 + (n − 1)a n−1 x n−2 + · + 2a 2 x + a 1 .
(2) Jede rationale Funktion f(x) = p(x) ist in ihrem Definitionsbereich D =
q(x)
{x ∈ R | q(x) ≠ 0} differenzierbar. Insbesondere
( 1
x n ) ′
= − n
x n+1 (n ∈ N, x ≠ 0).
Satz 4.2.2 (Kettenregel) Es seien f : I → R, g : D → R Funktionen mit
g(D) ⊆ I. Ist g differenzierbar in x 0 ∈ D, f differenzierbar in g(x 0 ) ∈ I, so
ist f ◦ g : D → R differenzierbar in x 0 und es gilt
d
dx f(g(x 0)) = f ′ (g(x 0 ))g ′ (x 0 )
Merkregel: ”Äußere Ableitung an der Stelle g(x 0 ) mal innere Ableitung.”
Beispiel 4.2.2 h(x) = (x 2 + 4) 3 , h ′ (x) = 3(x 2 + 4) 2 · 2x.