Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

4.1 Differenzierbarkeit 79
Einsetzen von g(x):
⇔
⇔
f(x) − m(x − x 0 ) − f(x 0 )
lim
= 0
x→x 0 x − x 0
f(x) − f(x 0 )
lim
x→x0 x − x 0
f ′ (x 0 ) = m
= m
Also ist die beste lineare Approximation von f nahe x 0 die Funktion
Es gilt also
f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ).
f(x) = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ) + r(x − x 0 ) mit lim
x→x0
r(x − x 0 )
x − x 0
= 0.
Physikalische Deutung
Betrachte die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes. Es sei
x = t Zeit
f(x) = s(t) zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke
(Ohne Einschränkung s(0) = 0).
Dann ist
∆s
∆t
die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall (t 0 , t) (oder (t, t 0 )) und
v(t 0 ) = ·s (t 0 ) = lim
t→t0
s(t) − s(t 0 )
t − t 0
die (momentane) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 .
Beispiel 4.1.1 (1) f(x) = ax + b, f ′ (x) = a.
(2) f(x) = x n , f ′ (x) = nx n−1 .
(3) f(x) = √ x, f ′ (x) = 1 √1
2 x
, (x > 0).
Wie verhalten sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit zueinander?
Satz 4.1.1 Ist f : I → R differenzierbar in x 0 , so ist f auch stetig in x 0 .
Warnung Die Umkehrung von Satz 4.1.1 gilt nicht! Z.B. ist f(x) = |x| in
0 stetig, aber nicht differenzierbar.