Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

78 Kapitel 4. Differentiation
f(x)
f(x 0 )
f(x) − f(x 0 )
x − x 0
x
x 0
Abbildung 4.1: Steigung der Sekante von (x 0 , f(x 0 )) nach (x, f(x))
Notation von Leibniz:
∆f(x)
lim
x→x 0 ∆x
= lim ∆y
x→x 0 ∆x =
dy
dx ,
Geometrische Deutung
Anschaulich gibt f ′ (x 0 ) die Steigung der Tangente an den Graphen von f im
Punkt (x 0 , f(x 0 )) an. Die Gleichung der Tangente an den Graphen y = f(x)
in (x 0 , f(x 0 )) lautet also:
y = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 )
Analytische Deutung
Zu einer differenzierbaren Funktion f : I → R wird diejenige Gerade (lineare
Funktion) g(x) = m(x − x 0 ) + f(x 0 ) durch (x 0 , f(x 0 )) gesucht, die f in der
Nähe von x 0 am besten approximiert, d.h. mit
lim
x→x 0
f(x) − g(x)
x − x 0
= 0.