Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

Kapitel 4
Differentiation
4.1 Differenzierbarkeit
Es sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine Funktion, x 0 ∈ I. Den Ausdruck
∆f(x)
∆x := f(x) − f(x 0)
= f(x 0 + h) − f(x 0 )
x − x 0 h
für x ∈ I, x ≠ x 0 , h := x − x 0 , nennt man Differenzenquotient von f an der
Stelle x 0 . Anschaulich gibt der Differenzenquotient die Steigung der Sekante
durch (x 0 , f(x 0 )) und (x, f(x)) an den Graphen von f an (siehe Abb. 4.1).
Definition
f heißt differenzierbar in x 0 , falls der Grenzwert
f(x) − f(x 0 )
lim
x→x 0 x − x 0
existiert und endlich ist.
Ist f differenzierbar in x 0 , so heißt
bzw. lim
h→0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
h
f ′ (x 0 ) := lim
h→0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
h
die Ableitung von f an der Stelle x 0 .
f heißt differenzierbar, wenn f in jedem Punkt x ∈ I differenzierbar ist. In
diesem Fall ist f ′ (x) eine auf I definierte Funktion, die man mit f ′ bezeichnet
und auch die Ableitung von f nennt.
Notation
Andere Notationen für f ′ (x):
f(x) ′ ,
df(x)
dx ,
77
d
dx f(x).