Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

76 Kapitel 3. Funktionen
Beispiel 3.4.2 (4) f(x) = xn −1
x−1
ist stetig nach 1 fortsetzbar:
x n − 1
lim
x→1 x − 1 = lim
x→1 (xn−1 + x n−2 + · · · + x + 1) = n.
(5) 1 x und sin 1 x sind nicht stetig nach 0 fortsetzbar, wohl aber x sin 1 x .
Aus den Grenzwertregeln (Satz 3.3.1) folgt:
Satz 3.4.1 (Rechenregeln für stetige Funktionen) (a) Sind f, g auf
einem Intervall I ⊆ R stetig, so auch f + g, λf (λ ∈ R) und fg. f ist g
stetig in allen x ∈ I mit g(x) ≠ 0.
(b) Sind f : I → R, g : D → R mit g(D) ⊆ I stetig, so auch h : D → R
mit h(x) = f(g(x)) auf D.
Satz 3.4.2
(a) Jedes Polynom ist auf ganz R stetig.
(b) Jede rationale Funktion f(x) = p(x)
q(x)
stetig.
ist in allen x ∈ R mit q(x) ≠ 0
Satz 3.4.3 Für jede auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion
f gilt:
(a) Schrankensatz f ist auf [a, b] beschränkt, d.h. es gibt eine Schranke K
mit |f(x)| < K für alle x ∈ [a, b].
(b) Satz vom Maximum und Minimum f nimmt auf [a, b] Minimum
und Maximum an, d.h. es gibt x 0 , x 1 ∈ [a, b] mit f(x 0 ) ≤ f(x) ≤ f(x 1 ) für
alle x ∈ [a, b].
(c) Zwischenwertsatz Jeder Wert zwischen dem Minimum und dem Maximum
von f wird angenommen, d.h. ist m das Minimum und M das Maximum
von f auf [a, b], so gibt es für jedes c mit m ≤ c ≤ M ein x ∈ [a, b] mit
f(x) = c.