Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.4 Stetigkeit 75
Beispiel 3.3.2
f(x) =
x 3 + 2
(x + 1)(x − 1) 2 .
Die Funktion f hat einen einfachen Pol bei x = −1 und einen doppelten Pol
bei x = 1. Es gilt
lim
x→(−1) − f(x) = 1 4
lim
x→(−1) + f(x) = 1 4
1
lim
x→(−1) − x + 1 = −∞,
1
lim
x→(−1) + x + 1 = ∞,
lim f(x) = 3
x→1 − 4 lim 1
x→1 − (x − 1) = ∞ = 3 2 4 lim
lim f(x) = lim f(x) = 1.
x→∞ x→−∞
(x − 1) = lim f(x),
2 x→1 +
x→1 + 1
Die Geraden x = −1 und x = 1 sind vertikale Asymptoten, die Gerade y = 1
eine horizontale Asymptote der Kurve y = f(x).
3.4 Stetigkeit
Definition Es sei I ⊆ R ein Intervall, x 0 ∈ I. Eine Funktion f : I → R
heißt stetig in x 0 , falls lim x→x0 f(x) = f(x 0 ) gilt. (Ist x 0 ein Randpunkt von
I, so lim x→x0 f(x) = lim x→x
+ f(x) oder lim x→x
0 0
f(x) = lim x→x
− f(x).)
0
Die Funktion f heißt stetig auf I, wenn f in jedem x 0 ∈ I stetig ist.
Anschaulich: Graph ist zusammenhängende Linie (ohne Lücken und Sprünge).
Beispiel 3.4.1 (1) Die Größte-Ganze-Funktion f(x) = [x] ist in allen offenen
Intervallen (m, m + 1) mit m ∈ Z stetig und in allen m ∈ Z unstetig.
(2) f(x) = 1 ist stetig in allen Punkten x ≠ 0 (in 0 nicht definiert).
x
(3) f(x) = |x| ist überall stetig.
Definition Es sei I ⊆ R ein Intervall, x 0 ∈ I, f : I \ {x 0 } → R eine Funktion.
Die Funktion f heißt stetig fortsetzbar nach x 0 , wenn der Grenzwert
lim f(x) = c
x→x 0
existiert und endlich ist. Durch die Festsetzung f(x 0 ) := c wird f dann zu
einer in x 0 stetigen Funktion fortgesetzt.