Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

74 Kapitel 3. Funktionen
Dann gilt
(
lim f(x) = lim a nx n 1 + a n−1
x→∞ x→∞ a n x + · · · + a )
0
a n x n
= lim a x x n
{ x→∞
∞ falls an > 0,
=
−∞ falls a n < 0,
lim
x→−∞
f(x) = lim a nx n
x→−∞
⎧
⎨ ∞
=
⎩
−∞
Nun betrachten wir eine rationale Funktion
f(x) = p(x)
q(x) ,
falls a n > 0 und n gerade
oder a n < 0 und n ungerade,
sonst.
p(x), q(x) haben keinen gemeinsamen Teiler.
Die Zahl α sei ein l-facher Pol von f. Dann gilt
Ferner gilt
p(x)
lim f(x) = lim
x→α + x→α + (x − α) l q 1 (x)
= p(α)
q 1 (α) lim 1
x→α + (x − α) , l
p(α)
lim f(x) =
x→α− q 1 (α) lim 1
x→α − (x − α) . l
a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 0
lim f(x) = lim
x→∞ x→∞ b m x m + b m−1 x m−1 + · · · + b 0
(
a n x n
= lim
x→∞
1 + a n−1
a nx + · · · + a 0
a nx n )
)
b m x
(1 m + b m−1
+ · · · + b 0
b mx b mx m
= lim x n−m
b
⎧ m
∞ falls n > m und an
b m
> 0,
⎪⎨ −∞ falls n > m und an
b m
< 0,
= a n
falls n = m,
⎪⎩ b m
0 falls n < m.
x→∞
a n