Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.3 Grenzwerte von Funktionen 71
Nur für absolut konvergente Reihen gelten die beiden folgenden Sätze.
Satz 3.2.13 (Cauchy-Produkt zweier Reihen) Für absolut konvergente
Reihen ∑ ∞
k=0 a k und ∑ ∞
k=0 b k gilt die Produktformel
(
∑ ∞
) ( ∞
) (
∑
∞∑ m
)
∑
a k b k = a k b m−k
k=0
k=0
m=0
k=0
= a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 ) + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 ) + · · · .
Satz 3.2.14 (Umordnungssatz) Ist die Reihe ∑ ∞
k=0 a k absolut konvergent
und ∑ ∞
k=0 a k = s, dann konvergiert jede aus ∑ ∞
k=0 a k durch Umordnung der
Glieder entstandene Reihe ebenfalls gegen s.
3.3 Grenzwerte von Funktionen
Es sei I ⊆ R ein Intervall, a ∈ I, f : I \ {a} → R. Wir interessieren uns
nun für das Verhalten der Funktionswerte f(x), wenn sich x der Stelle x = a
nähert.
Definition Die Funktion f(x) hat für x gegen a den rechtsseitigen Grenzwert
(bzw. linksseitigen Grenzwert) c, in Zeichen
lim
x→a
x→a
f(x) = c (bzw. lim f(x) = c),
+ −
wenn für jede Folge (x n ) n∈N aus I mit x n → a und a < x n für alle n (bzw.
x n → a und x n < a für alle n) die Folge (f(x n )) n∈N gegen c konvergiert.
Die Funktion f(x) hat für x gegen a den Grenzwert c, in Zeichen
lim f(x) = c,
x→a
wenn gilt lim x→a + f(x) = lim x→a − f(x) = c.
Die Funktion f(x) hat für x gegen ∞ (bzw. −∞) den Grenzwert c, in
Zeichen
lim f(x) = c (bzw. lim f(x) = c),
x→∞ x→−∞
wenn für jede Folge (x n ) n∈N aus I mit x n → ∞ (bzw. x n → −∞) die Folge
(f(x n )) n∈N gegen c konvergiert. Hierbei ist auch c ∈ {−∞, ∞} zugelassen.
Notation
Andere übliche Notationen:
lim f(x) = c ⇔ f(x) → c für x → a,
x→a
lim f(x) = c ⇔ f(x) → c für x → a, a < x,
x→a +
lim f(x) = c ⇔ f(x) → c für x → a, x < a.
x→a−