Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

70 Kapitel 3. Funktionen
, also nach den Re-
Nach Beispiel 3.2.3 (3) konvergiert die Reihe ∑ ∞
k=1
chenregeln für Summen von Reihen auch die Reihe ∑ ∞
ist daher Majorante von ∑ ∞
k=1
1
.
k 2
1
k(k+1)
k=1
2
. Diese Reihe
k(k+1)
Satz 3.2.11 (Quotientenkriterium) Ist ∑ ∞
k=0 a k eine Reihe mit a k ≠ 0
für alle k ≥ k 0 und gilt
∣ lim
a k+1 ∣∣∣
k→∞
∣ = r,
a k
so gilt:
(a) r < 1 ⇒ ∑ ∞
k=0 a k absolut konvergent.
(b) r > 1 ⇒ ∑ ∞
k=0 a k divergent.
Warnung
Ist r = 1, so kann man keine Aussage machen.
Beispiel 3.2.6 Die Reihe
∞∑ x k
k! = 1 + x + x2
2! + x3
3! + x4
+ · · · (x ∈ R)
4!
k=0
konvergiert für jedes x ∈ R absolut:
∣ a k+1 ∣∣∣ x k+1
∣ ∣ (k+1)!
∣∣∣
∣ =
a k ∣ ∣ = x k+1 · k! ∣∣∣ =
x
(k + 1)! · x k ∣k + 1∣ → 0 für k → ∞.
x k
k!
Satz 3.2.12 (Wurzelkriterium) Ist ∑ ∞
k=0 a k eine Reihe mit
√
k
|ak | = r,
so gilt:
lim
k→∞
(a) r < 1 ⇒ ∑ ∞
k=0 a k absolut konvergent.
(b) r > 1 ⇒ ∑ ∞
k=0 a k divergent.
Beispiel 3.2.7 Die Reihe
∞∑ 1
k = 1 + 1 + 1 k 4 + 1 27 + · · ·
konvergiert absolut:
k=0
√
√
k 1 |ak | = k k = 1 k k
→ 0 für k → ∞.