Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.3 Das Skalarprodukt im R n 7
Definition Für Vektoren ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) und ⃗y = (y 1 , . . . , y n ) des R n ist
das Skalarprodukt ⃗x · ⃗y definiert als
⃗x · ⃗y := x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n y n .
Man beachte, dass ⃗x · ⃗y eine reelle Zahl ist. Bei der Multiplikation eines
Vektors ⃗x mit einem Skalar λ erhält man dagegen einen Vektor λ⃗x ∈ R n .
Satz 1.3.1 (Eigenschaften des Skalarprodukts) (a) Für alle ⃗x ∈ R n
gilt
⃗x · ⃗x ≥ 0
und es gilt ⃗x · ⃗x = 0 genau dann, wenn ⃗x = ⃗0. (Das Skalarprodukt ist positiv
definit.)
(b) Für alle ⃗x, ⃗y ∈ R n gilt
⃗x · ⃗y = ⃗y · ⃗x.
(Das Skalarprodukt ist symmetrisch.)
(c) Für alle ⃗x, ⃗y, ⃗z ∈ R n und λ ∈ R gilt:
(Das Skalarprodukt ist bilinear.)
Beweis. (a) Für ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) gilt
(⃗x + ⃗z) · ⃗y = ⃗x · ⃗y + ⃗z · ⃗y,
(λ⃗x) · ⃗y = λ(⃗x · ⃗y),
⃗x · (⃗y + ⃗z) = ⃗x · ⃗y + ⃗x · ⃗z,
⃗x · (λ⃗y) = λ(⃗x · ⃗y).
⃗x · ⃗x = x 2 1 + · · · + x 2 n ≥ 0.
Daran sieht man auch, dass ⃗x · ⃗x genau dann gleich 0 ist, wenn x 1 = . . . = x n = 0 , also
⃗x = ⃗0 gilt.
Die Formeln von (b) und (c) rechnet man einfach nach.
✷
Die Länge oder Norm eines Vektors ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) ist defi-
Definition
niert durch
|⃗x| := √ ⃗x · ⃗x =
√
x 2 1 + · · · + x 2 n.
Nach Satz 1.3.1 (a) folgt
|⃗x| = 0 ⇔ ⃗x = ⃗0.