Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.2 Folgen und Reihen 69
ordnen nun die Reihe um:
s = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + · · ·
= 1 − 1 2 − 1 4 + 1 3 − 1 6 − 1 8 + 1 5 − 1 10 − 1 12 + · · ·
=
(auf ein positives Glied folgen stets zwei negative Glieder)
(
1 − 1 )
− 1 ( 1
2 4 + 3 − 1 )
− 1 ( 1
6 8 + 5 − 1 )
− 1 10 12 + · · ·
= 1 2 − 1 4 + 1 6 − 1 8 + 1 10 − 1 12 + · · ·
= 1 (1 − 1 2 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 )
6 + · · ·
= 1 2 s.
Solche Einschränkungen gelten nicht für absolut konvergente Reihen.
Definition Die Reihe ∑ ∞
∑ k=0 a k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
∞
k=0 |a k| = |a 0 | + |a 1 | + |a 2 | + · · · konvergiert.
Satz 3.2.9 Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent (im gewöhnlichen
Sinne).
Warnung Die Umkehrung ist falsch, wie das Beispiel der alternierenden
harmonischen Reihe ∑ ∞
k=1 (−1)k+1 1 zeigt. k
Satz 3.2.10 (Majorantenkriterium) Gegeben seien zwei Reihen ∑ ∞
∑ k=0 a k,
∞
k=0 b k. Besteht für die Glieder die Abschätzung 0 ≤ |a k | ≤ b k für alle k ≥ k 0
( ∑ ∞
k=0 b k ist Majorante von ∑ ∞
k=0 a k), dann gilt:
(a) ∑ ∞
k=0 b k konvergent ⇒ ∑ ∞
k=0 a k absolut konvergent.
(b) ∑ ∞
k=0 |a k| = ∞ ⇒ ∑ ∞
k=0 b k = ∞.
Beispiel 3.2.5 Wir beweisen die Konvergenz der Reihe
mit Hilfe des Majorantenkriteriums.
Für alle k ≥ 1 gilt
∞∑
k=1
1
k 2
1
k ≤ 2 ( ) ⇔ k(k + 1) ≤ 2k
2
.
2 k(k + 1)