Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.2 Folgen und Reihen 67
(3) Wir untersuchen die Reihe
Schreibe
∞∑
k=1
1
k(k + 1) .
1
k(k + 1) = 1 k − 1
k + 1 .
Damit gilt
(
s n = 1 − 1 ) ( 1
+
2 2 3)
− 1 ( 1
+ · · · +
n − 1 − 1 ) ( 1
+
n n − 1 )
n + 1
= 1 − 1
n + 1 .
Daher gilt
∞∑
k=1
(
1
k(k + 1) = lim s n = lim 1 − 1 )
= 1.
n→∞ n→∞ n + 1
Warnung Notwendig für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist, dass
die Glieder eine Nullfolge bilden. Das ist aber im Allgemeinen nicht hinreichend,
wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.
Definition Reihen, bei denen aufeinanderfolgende Glieder jeweils entgegengesetzte
Vorzeichen haben, nennt man alternierende Reihen.
Satz 3.2.7 (Leibniz-Kriterium) Es sei
a 0 ≥ a 1 ≥ a 2 ≥ · · · ≥ 0
und es gelte
lim a k = 0.
k→∞
Dann konvergiert die Reihe
∞∑
(−1) k a k = a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + a 4 − · · · .
k=0
Beispiel 3.2.4 Die alternierende harmonische Reihe
∞∑
(−1) k+1 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 ± · · ·
k=1
konvergiert nach dem Leibnizkriterium.