Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

66 Kapitel 3. Funktionen
Für q = 1 konvergiert die Reihe ∑ ∞
k=0 qk daher nicht.
Es sei q ≠ 1. Zieht man die beiden Gleichungen
voneinander ab, so erhält man
Für q ≠ 1 gilt also
s n = 1 + q + q 2 + · · · + q n
qs n = q + q 2 + · · · + q n + q n+1
(1 − q)s n = 1 − q n+1 .
s n = 1 − qn+1
1 − q .
Wir sehen also, dass die Folge (s n ) n∈N genau dann konvergiert, wenn die Folge
(q n ) n∈N konvergiert. Nach Beispiel 3.2.1(4) konvergiert die Folge (q n ) n∈N aber
genau dann, wenn |q| < 1 ist, und es gilt für |q| < 1
Also folgt für |q| < 1
∞∑
k=0
lim
n→∞ qn = 0.
q k = lim
n→∞
1 − q n+1
1 − q
= 1
1 − q .
Wir erhalten also die sehr wichtige Summenformel für die geometrische Reihe
∞∑
k=0
q k = 1
1 − q
für |q| < 1
Insbesondere gilt also
∞∑
) k
= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2.
k=0
( 1
2
(2) Die harmonische Reihe
∞∑ 1
k = 1 + 1 2 + 1 3 + . . .
k=1
hat die Glieder a k = 1 (k ≥ 1) und es gilt
k
∞∑ 1
k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 + 1 4
k=1
} {{ } 5 + 1 6 + 1 7 + 1 + 1
} {{ 8}
9 + · · · + 1 + · · ·
} {{ 16}
> 1 > 1 > 1 2
2
2
= ∞.