Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.2 Folgen und Reihen 65
Reihen
Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine ”Summe”
a 0 + a 1 + a 2 + · · ·
zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst
kann man die ”Partialsummen”
s n = a 0 + a 1 + · · · + a n
betrachten. Konvergiert die Folge der Partialsummen (s n ) n∈N , so kann man
den Grenzwert als die ”unendliche Summe”
betrachten.
a 0 + a 1 + a 2 + · · ·
Definition
Es sei (a n ) n∈N eine Folge reeller Zahlen. Durch
s n := a 0 + a 1 + · · · + a n
(Partialsumme)
wird eine Folge (s n ) n∈N definiert, die Reihe genannt wird und mit ∑ ∞
k=0 a k
(bzw. mit a 0 + a 1 + a 2 + . . .) bezeichnet wird.
∑
Konvergiert die Folge (s n ) n∈N , so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit
∞
k=0 a k bezeichnet. Man sagt auch ∑ ∞
k=0 a k konvergiert. Den Grenzwert
nennt man auch die Summe oder den Wert der Reihe.
Das Symbol ∑ ∞
k=0 a k bedeutet also
(a) die Folge ( ∑ n
k=0 a k) n∈N der Partialsummen
(b) im Falle der Konvergenz den Grenzwert lim n→∞
∑ n
k=0 a k.
Beispiel 3.2.3 (1) Das wichtigste Beispiel einer Reihe ist die geometrische
Reihe
∞∑
q k = 1 + q + q 2 + q 3 + · · ·
k=0
für q ∈ R. Die Partialsumme ist
Für q = 1 erhält man
s n = 1 + q + · · · + q n .
s n = 1
}
+ 1 +
{{
· · · + 1
}
= n + 1.
n+1