Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

64 Kapitel 3. Funktionen
Beispiel 3.2.2 Jeder Dezimalbruch, z.B.
stellt eine reelle Zahl dar: Die Folge 1
0, ¯9 = 0, 99999999999999999999 . . . ,
0; 0, 9; 0, 99; 0, 999; 0, 9999; 0, 99999; . . .
ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, konvergiert also nach
Satz 3.2.6. Der Dezimalbruch bezeichnet gerade den Grenzwert dieser Folge.
In unserem Beispiel ist das die Zahl 1. Also stellt der unendliche periodische
Dezimalbruch 0, ¯9 die Zahl 1 dar.
Beispiel 3.2.1 (6): Es gilt
a n+1 = 1 (a n + 2 ) √
2
≥ a n · = √ 2.
2 a n a n
Somit ist √ 2 eine untere Schranke der Folge (a n ) n∈N . Also gilt
a n ≥ √ 2
⇒ a 2 n ≥ 2
⇒
2 a n
≤ a n
(a n + 2 a n
)
⇒ a n+1 = 1 2
≤ a n
Also ist die Folge (a n ) n∈N monoton fallend und nach unten beschränkt, also
konvergent nach Satz 3.2.6. Es sei a = lim n→∞ a n . Wir berechnen a.
Es gilt a n ≥ √ 2 > 0 für alle n ∈ N, also folgt aus Satz 3.2.3 a > 0. Nach
Satz 3.2.2 gilt somit
1
a = lim a n+1 = lim
(a n + 2 )
= 1 (
a + 2 )
.
n→∞ n→∞ 2 a n 2 a
Daraus folgt aber a = √ 2. Es gilt also lim n→∞ a n = √ 2. Damit haben wir
ein Iterationsverfahren gefunden, √ 2 approximativ zu berechnen.
1 Wir haben hier zur Deutlichkeit die Kommas zwischen den Folgengliedern durch
Strichpunkte ersetzt.