Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.2 Folgen und Reihen 63
Satz 3.2.2 (Rechenregeln für Grenzwerte) Wenn lim n→∞ a n = a und
lim n→∞ b n = b ist, so gilt
(1) lim n→∞ (a n + b n ) = a + b,
(2) lim n→∞ (a n · b n ) = a · b.
Wenn b ≠ 0, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit b n ≠ 0 für alle n ≥ n 1 und
(3) lim n→∞
(
a n
bn
)
= a b .
Beispiel 3.2.1(5):
4n 2 + 2n + 1
lim
n→∞ 3n 3 + 6
4
= lim
+ 2 + 1 n n 2 n 3
n→∞ 3 + 6 = 0.
n 3
Satz 3.2.3 Es sei lim n→∞ a n = a, lim n→∞ b n = b und a n ≤ b n für fast alle
n. Dann gilt a ≤ b.
Satz 3.2.4 (Einzwängungssatz) Für fast alle n gelte
a n ≤ b n ≤ c n .
Gilt lim n→∞ a n = a und lim n→∞ c n = a, so gilt auch lim n→∞ b n = a.
Definition
Eine Folge (a n ) n∈N heißt
• monoton wachsend, falls a n ≤ a n+1 für alle n ∈ N gilt.
• monoton fallend, falls a n ≥ a n+1 für alle n ∈ N gilt.
• nach oben beschränkt, falls es eine Zahl M ∈ R gibt, so dass a n ≤ M
für alle n ∈ N gilt.
• nach unten beschränkt, falls es eine Zahl m ∈ R gibt, so dass m ≤ a n
für alle n ∈ N gilt.
• beschränkt, falls sie nach oben und unten beschränkt ist.
Satz 3.2.5 Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Warnung Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht, siehe Beispiel 3.2.1 (4)
q = −1.
Satz 3.2.6 (Ein Konvergenzkriterium) Jede monoton wachsende und nach
oben beschränkte Folge ist konvergent. Jede monoton fallende und nach unten
beschränkte Folge ist konvergent.