Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

62 Kapitel 3. Funktionen
alle Schranken wachsen, d.h. wenn es zu jedem noch so großen K einen Index
n 0 gibt, so dass für alle n ≥ n 0 gilt:
a n > K.
Analog ist lim n→∞ a n = −∞ oder a n → −∞ (für n → ∞) definiert.
Definition Eine Folge komplexer Zahlen ist eine auf N erklärte komplexwertige
Funktion
n ∈ N ↦→ c n ∈ C.
Eine Folge (c n ) n∈N komplexer Zahlen ist genau dann konvergent, wenn die
beiden Folgen (Re(c n )) n∈N und (Im(c n )) n∈N konvergieren. Im Falle der Konvergenz
gilt
lim c n = lim Re(c n ) + i lim Im(c n ).
n→∞ n→∞ n→∞
Wir untersuchen nun die Beispiele auf Konvergenz bzw. Divergenz.
Beispiel 3.2.1
(1)
(2)
(3)
lim (a 0 + nd) =
n→∞
lim a n = 1.
n→∞
1
lim
n→∞ n = 0.
⎧
⎨
⎩
∞ für d > 0,
a 0 für d = 0,
−∞ für d < 0.
(4) Es sei a 0 > 0.
lim a 0q n =
n→∞
⎧
⎨
⎩
∞ für q > 1,
a 0 für q = 1,
0 für |q| < 1.
Die Folge (a 0 q n ) n∈N ist für q ≤ −1 divergent.
Bevor wir die anderen Beispiele untersuchen, notieren wir einige einfache
Sätze und Rechenregeln.
Satz 3.2.1 (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Gilt lim n→∞ a n
lim n→∞ a n = b, so gilt a = b.
= a und