Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.2 Folgen und Reihen 61
(4) a n := a 0 q n (n ≥ 0, q ≠ 0 fest): a 0 , a 0 q, a 0 q 2 , . . .
(geometrische Folge)
Zahlenbeispiel: a 0 = 1, q = 2: 1, 2, 4, 8, 16, . . ..
(5)
a n := 4n2 + 2n + 1
.
3n 3 + 6
(6) Durch
a 0 = 2,
(a n + 2 )
a n
a n+1 = 1 2
wird eine Folge rekursiv definiert: 2, 3 2 , 17
12 , 577
408 , . . ..
Definition Eine Folge (a n ) n∈N konvergiert gegen den Grenzwert a (in Zeichen
lim n→∞ a n = a oder a n → a (für n → ∞)), wenn gilt:
Zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke ε > 0 gibt es einen Index
n 0 , so dass für alle n ≥ n 0 gilt:
|a n − a| < ε.
Anschaulich: Es gilt lim n→∞ a n = a genau dann, wenn in jedem noch so
kleinen Intervall mit Mittelpunkt a (ε-Umgebung von a) ab einem genügend
großen Index n 0 schließlich alle Folgenglieder a n (n ≥ n 0 ) liegen. Hierbei
nennt man das Intervall
(a − ε, a + ε) := {x ∈ R | |x − a| < ε}
eine ε-Umgebung von a.
Es gilt also lim n→∞ a n = a genau dann, wenn in jeder ε-Umgebung von a
fast alle Folgenglieder liegen. Fast alle bedeutet hierbei alle bis auf endlich
viele.
Es gilt also lim n→∞ a n = a genau dann, wenn in jedem Intervall (a − ε, a + ε)
(für beliebig kleines ε > 0) unendlich viele, außerhalb aber höchstens endlich
viele Glieder der Folge liegen.
Definition Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt,
andernfalls divergent. Jede gegen 0 konvergierende Folge heißt Nullfolge.
Definition Man sagt, eine Folge (a n ) n∈N divergiert gegen den uneigentlichen
Grenzwert ∞ (oder strebt gegen ∞) (in Zeichen lim n→∞ a n = ∞ oder
a n → ∞ (für n → ∞)), wenn die Folgenglieder a n in positiver Richtung über