Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

60 Kapitel 3. Funktionen
Gegeben sei eine rationale Funktion
f(x) = p(x)
q(x) .
Wir setzen voraus, dass p(x) und q(x) keinen gemeinsamen Teiler mehr besitzen.
Dann haben p(x) und q(x) keine gemeinsamen Nullstellen. Der Definitionsbereich
von f ist
D := {x ∈ R | q(x) ≠ 0}.
Definition
Eine l-fache Nullstelle α des Nenners,
heißt l-facher Pol von f.
q(x) = (x − α) l q 1 (x) mit q 1 (α) ≠ 0,
3.2 Folgen und Reihen
Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen
a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , . . . .
Dabei stehen die drei Pünktchen für ”unendlich oft so weiter”.
Definition Unter einer Folge reeller Zahlen versteht man eine auf N =
{0, 1, 2, . . .} erklärte reellwertige Funktion, d.h.
n ∈ N ↦→ a n ∈ R.
Bezeichnung (a n ) n∈N oder a 0 , a 1 , a 2 , . . ..
Bemerkung 3.2.1 Es spielt im Prinzip keine Rolle, mit welchem Index man
beginnt. Es sei n 0 ∈ Z. Dann bezeichnet man (a n ) n≥n0 oder
auch als Folge.
a n0 , a n0 +1, a n0 +2, . . .
Beispiel 3.2.1 (1) Es sei a n := 1 für alle n ∈ N. Man erhält die konstante
Folge 1, 1, 1, . . ..
(2) a n := 1 n , (n ≥ 1): 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . ..
(3) a n := a 0 + nd (n ≥ 0, d ∈ R): a 0 , a 0 + d, a 0 + 2d, . . .
(arithmetische Folge)
Zahlenbeispiel: a 0 = 1, d = 2: 1, 3, 5, 7, . . ..