Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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6 Kapitel 1. Lineare Algebra I x 2 + y 2 y 2 x 2 0 y 1 x 1 x 1 + y 1 Abbildung 1.1: Addition zweier Vektoren (n = 2) ⃗0 := (0, . . . , 0) und Spitze in ⃗x. Zwei Vektoren ⃗x und ⃗y spannen dann ein Parallelogramm auf (siehe Abbildung 1.1 für n = 2) und dem Vektor ⃗x + ⃗y entspricht dann der Pfeil, der auf der Diagonale mit dem Fußpunkt ⃗0 liegt und als Spitze den anderen Eckpunkt hat. Der Multiplikation mit der Zahl λ entspricht die Streckung des Vektors ⃗x um den Faktor λ. Satz 1.2.1 (Vektorraumaxiome) Es seien ⃗x, ⃗y, ⃗z ∈ R n und a, b, c ∈ R. Dann gilt: (V1) ⃗x + (⃗y + ⃗z) = (⃗x + ⃗y) + ⃗z. (V2) ⃗x + ⃗0 = ⃗0 + ⃗x = ⃗x. (V3) ⃗x + (−⃗x) = (−⃗x) + ⃗x = ⃗0. (V4) ⃗x + ⃗y = ⃗y + ⃗x. (V5) (a + b)⃗x = a⃗x + b⃗x. (V6) a(⃗x + ⃗y) = a⃗x + a⃗y. (V7) (ab)⃗x = a(b⃗x). (V8) 1⃗x = ⃗x. 1.3 Das Skalarprodukt im R n Wir wollen nun auch Längen und Winkel definieren. Deswegen führen wir das Skalarprodukt im R n ein.
1.3 Das Skalarprodukt im R n 7 Definition Für Vektoren ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) und ⃗y = (y 1 , . . . , y n ) des R n ist das Skalarprodukt ⃗x · ⃗y definiert als ⃗x · ⃗y := x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n y n . Man beachte, dass ⃗x · ⃗y eine reelle Zahl ist. Bei der Multiplikation eines Vektors ⃗x mit einem Skalar λ erhält man dagegen einen Vektor λ⃗x ∈ R n . Satz 1.3.1 (Eigenschaften des Skalarprodukts) (a) Für alle ⃗x ∈ R n gilt ⃗x · ⃗x ≥ 0 und es gilt ⃗x · ⃗x = 0 genau dann, wenn ⃗x = ⃗0. (Das Skalarprodukt ist positiv definit.) (b) Für alle ⃗x, ⃗y ∈ R n gilt ⃗x · ⃗y = ⃗y · ⃗x. (Das Skalarprodukt ist symmetrisch.) (c) Für alle ⃗x, ⃗y, ⃗z ∈ R n und λ ∈ R gilt: (Das Skalarprodukt ist bilinear.) Beweis. (a) Für ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) gilt (⃗x + ⃗z) · ⃗y = ⃗x · ⃗y + ⃗z · ⃗y, (λ⃗x) · ⃗y = λ(⃗x · ⃗y), ⃗x · (⃗y + ⃗z) = ⃗x · ⃗y + ⃗x · ⃗z, ⃗x · (λ⃗y) = λ(⃗x · ⃗y). ⃗x · ⃗x = x 2 1 + · · · + x 2 n ≥ 0. Daran sieht man auch, dass ⃗x · ⃗x genau dann gleich 0 ist, wenn x 1 = . . . = x n = 0 , also ⃗x = ⃗0 gilt. Die Formeln von (b) und (c) rechnet man einfach nach. ✷ Die Länge oder Norm eines Vektors ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) ist defi- Definition niert durch |⃗x| := √ ⃗x · ⃗x = √ x 2 1 + · · · + x 2 n. Nach Satz 1.3.1 (a) folgt |⃗x| = 0 ⇔ ⃗x = ⃗0.
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6 Kapitel 1. Lineare Algebra I<br />
x 2 + y 2<br />
y 2<br />
x 2<br />
0 y 1 x 1 x 1 + y 1<br />
Abbildung 1.1: Addition zweier Vektoren (n = 2)<br />
⃗0 := (0, . . . , 0) und Spitze in ⃗x. Zwei Vektoren ⃗x und ⃗y spannen dann ein<br />
Parallelogramm auf (siehe Abbildung 1.1 für n = 2) und dem Vektor ⃗x + ⃗y<br />
entspricht dann der Pfeil, der auf der Diagonale mit dem Fußpunkt ⃗0 liegt<br />
und als Spitze den anderen Eckpunkt hat. Der Multiplikation mit der Zahl<br />
λ entspricht die Streckung des Vektors ⃗x um den Faktor λ.<br />
Satz 1.2.1 (Vektorraumaxiome) Es seien ⃗x, ⃗y, ⃗z ∈ R n und a, b, c ∈ R.<br />
Dann gilt:<br />
(V1) ⃗x + (⃗y + ⃗z) = (⃗x + ⃗y) + ⃗z.<br />
(V2) ⃗x + ⃗0 = ⃗0 + ⃗x = ⃗x.<br />
(V3) ⃗x + (−⃗x) = (−⃗x) + ⃗x = ⃗0.<br />
(V4) ⃗x + ⃗y = ⃗y + ⃗x.<br />
(V5) (a + b)⃗x = a⃗x + b⃗x.<br />
(V6) a(⃗x + ⃗y) = a⃗x + a⃗y.<br />
(V7) (ab)⃗x = a(b⃗x).<br />
(V8) 1⃗x = ⃗x.<br />
1.3 Das Skalarprodukt im R n<br />
Wir wollen nun auch Längen und Winkel definieren. Deswegen führen wir<br />
das Skalarprodukt im R n ein.
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