Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.1 Polynome und rationale Funktionen 59
Satz 3.1.5 Jede rationale Funktion
p(x)
q(x) = a nx n + · · · + a 1 x + a 0
b m x m + · · · + b 1 x + b 0
(a n ≠ 0, b m ≠ 0)
mit Zählergrad ≥ Nennergrad lässt sich schreiben als
p(x)
q(x)
= h(x) +
r(x)
q(x)
mit einem Polynom h(x) (dem ganzen Anteil der rationalen Funktion) und
einem Restpolynom r(x) mit r(x) = 0 oder Grad r(x) < Grad q(x).
Beweis und Rechenverfahren (Polynomdivision mit Rest)
(1) Setze
Dann gilt
und Grad p 1 (x) < Grad p(x).
p 1 (x) := p(x) − a n
b m
x n−m q(x).
p(x)
q(x) = a n
x n−m + p 1(x)
b m q(x)
(2) Ist p 1 (x) = 0 oder Grad p 1 (x) < Grad q(x), dann sind wir fertig. Andernfalls
wiederhole man (1) mit
p 1 (x)
q(x)
anstelle von
p(x)
q(x) .
Beispiel 3.1.2
(x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 2) = x + 2 + −2x−3
x 2 +2
x 3 + 2x
2x 2 − 2x + 1
2x 2 + 4
− 2x − 3
Definition Das Polynom d(x) heißt Teiler des Polynoms p(x), wenn es ein
Polynom p 0 (x) gibt mit Grad p 0 (x) ≥ 1 und p(x) = d(x)p 0 (x).
Ebenso wie bei normalen Brüchen ist es auch bei rationalen Funktionen
wichtig, die gemeinsamen Teiler des Zählers und des Nenners zu kürzen.