Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

58 Kapitel 3. Funktionen
Satz 3.1.2 (Koeffizientenvergleich)
a 0 + a 1 x + · · · + a n x n = b 0 + b 1 x + · · · + b n x n ⇔ a k = b k
(0 ≤ k ≤ n).
Abkürzend verwenden wir auch für ein Polynom a 0 + a 1 x + · · · + a n x n
die Schreibweise f(x). Die Funktionswerte eines Polynoms berechnet man
zweckmäßigerweise nach dem Hornerschema:
f(x) = (· · · ((a n x + a n−1 )x + a n−2 )x + · · · + a 1 )x + a 0 .
Definition Eine Zahl α ∈ R heißt Nullstelle des Polynoms f(x) genau
dann, wenn f(α) = 0.
Satz 3.1.3 Ist α ∈ R Nullstelle des Polynoms f(x), dann gibt es ein Polynom
g(x), so dass
f(x) = (x − α) · g(x).
Beweis. Durch Ausmultiplizieren sieht man
x p − α p = (x − α)(x p−1 + αx p−2 + α 2 x p−3 + · · · + α p−2 x + α p−1 ).
Es sei f(α) = 0. Dann gilt
f(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n − (a 0 + a 1 α + · · · + a n α n )
= a 1 (x − α) + a 2 (x 2 − α 2 ) + · · · + a n (x n − α n ).
Definition Man nennt α ∈ R eine l-fache Nullstelle des Polynoms f(x)
und l die Vielfachheit von α, wenn der Linearfaktor x − α genau l-mal in
f(x) aufgeht, d.h. wenn es ein Polynom g(x) gibt mit
f(x) = (x − α) l g(x) und g(α) ≠ 0.
Satz 3.1.4 Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene Nullstellen.
✷
Definition
Der Quotient zweier Polynome
f(x) := p(x)
q(x) = a nx n + · · · + a 1 x + a 0
b m x m + · · · + b 1 x + b 0
(a n ≠ 0, b m ≠ 0)
heißt rationale Funktion.
Die Polynome definieren spezielle rationale Funktionen (q(x) = 1), dies
erklärt den Namen ”ganzrationale Funktionen”.