Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

3.1 Polynome und rationale Funktionen 57
Dies ist das Pascalsche Dreieck.
Notation
Für eine reelle Zahl a setzen wir
a 0 := 1,
a n := a · a · · · · · a (n Faktoren), n ≥ 1.
Satz 3.1.1 (Binomische Formel) Es seien a, b reelle Zahlen. Dann gilt
für alle natürlichen Zahlen n
(a + b) n =
n∑
k=0
( n
k)
a n−k b k
Nun betrachten wir Beispiele für Funktionen.
Definition
Ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist ein Ausdruck
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n
mit a i ∈ R. Der Buchstabe x ist hier nur ein Symbol, eine Unbestimmte. Die
a i bezeichnet man als die Koeffizienten des Polynoms. Ist a n ≠ 0, so heißt n
der Grad des Polynoms a 0 + a 1 x + · · · + a n x n .
Polynome kann man addieren und multiplizieren:
(a 0 + a 1 x + · · · + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + · · · + b m x m )
= (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + · · · ,
(a 0 + a 1 x + · · · + a n x n ) · (b 0 + b 1 x + · · · + b m x m )
= a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 )x 2 + · · ·
= c 0 + c 1 x + · · · + c n+m x n+m ,
wobei a i = 0 für i > n und b j = 0 für j > m gesetzt wird und
c k :=
k∑
a i b k−i für k = 0, 1, . . . , n + m.
i=0
Jedes Polynom
a 0 + a 1 x + · · · + a n x n
liefert nun eine Funktion f : R → R durch
α ∈ R ↦→ f(α) = a 0 + a 1 α + · · · + a n α n ∈ R.
Diese Funktion nennt man auch eine ganzrationale Funktion.