Mathematik fÃ¼r Ingenieure I - Institut fÃ¼r Algebraische Geometrie ...

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56 Kapitel 3. Funktionen y x Frage: Was ist (−∞, ∞)? Antwort: (−∞, ∞) = R. Abbildung 3.1: Graph von f(x) = x 3 − x Warnung −∞, ∞ sind nur Symbole. Es gilt −∞ < x < ∞ für alle x ∈ R. Intervalle [−∞, b], [a, ∞] usw. gibt es nicht! Definition (Fakultät) Für eine natürliche Zahl n ≥ 1 setzen wir n∏ n! := 1 · 2 · . . . · n = k n Fakultät, 0! := 1. Bemerkung 3.1.1 Eine alternative Definition ist eine rekursive Definition von n!: 0! := 1, k=1 n! := n · (n − 1)! für n ≥ 1. Definition (Binomialkoeffizient) Es seien n, k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n. ( n n! n(n − 1) · · · (n − k + 1) := = Binomialkoeffizient k) k!(n − k)! k! Beispiel 3.1.1 Es gilt n = 0 : 1 n = 1 : 1 1 n = 2 : 1 2 1 n = 3 : 1 3 3 1 n = 4 : 1 4 6 4 1 n = 5 : 1 5 10 10 5 1
3.1 Polynome und rationale Funktionen 57 Dies ist das Pascalsche Dreieck. Notation Für eine reelle Zahl a setzen wir a 0 := 1, a n := a · a · · · · · a (n Faktoren), n ≥ 1. Satz 3.1.1 (Binomische Formel) Es seien a, b reelle Zahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen n (a + b) n = n∑ k=0 ( n k) a n−k b k Nun betrachten wir Beispiele für Funktionen. Definition Ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist ein Ausdruck a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n mit a i ∈ R. Der Buchstabe x ist hier nur ein Symbol, eine Unbestimmte. Die a i bezeichnet man als die Koeffizienten des Polynoms. Ist a n ≠ 0, so heißt n der Grad des Polynoms a 0 + a 1 x + · · · + a n x n . Polynome kann man addieren und multiplizieren: (a 0 + a 1 x + · · · + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + · · · + b m x m ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + · · · , (a 0 + a 1 x + · · · + a n x n ) · (b 0 + b 1 x + · · · + b m x m ) = a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 )x 2 + · · · = c 0 + c 1 x + · · · + c n+m x n+m , wobei a i = 0 für i > n und b j = 0 für j > m gesetzt wird und c k := k∑ a i b k−i für k = 0, 1, . . . , n + m. i=0 Jedes Polynom a 0 + a 1 x + · · · + a n x n liefert nun eine Funktion f : R → R durch α ∈ R ↦→ f(α) = a 0 + a 1 α + · · · + a n α n ∈ R. Diese Funktion nennt man auch eine ganzrationale Funktion.
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Mathematik für Ingenieure I Winter
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Kapitel 1 Lineare Algebra I 1.1 Zah
Seite 5 und 6: 1.2 Der Vektorraum R n 5 Zwischen d
Seite 7 und 8: 1.3 Das Skalarprodukt im R n 7 Defi
Seite 9 und 10: 1.3 Das Skalarprodukt im R n 9 Satz
Seite 11 und 12: 1.3 Das Skalarprodukt im R n 11 (b)
Seite 13 und 14: 1.4 Das Vektorprodukt im R 3 13 1.4
Seite 15 und 16: 1.4 Das Vektorprodukt im R 3 15 Der
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Seite 19 und 20: 1.5 Geraden und Ebenen 19 Umrechnun
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Seite 35 und 36: 1.9 Matrizen 35 Eine besondere Roll
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Seite 39 und 40: 1.9 Matrizen 39 Beispiel 1.9.6 →
Seite 41 und 42: 1.10 Determinanten 41 Definition Es
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Seite 55: Kapitel 3 Funktionen 3.1 Polynome u
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5.4 Uneigentliche Integrale 107 2.
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5.4 Uneigentliche Integrale 109 Aus
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5.5 Partialbruchzerlegung 111 5.5 P
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5.5 Partialbruchzerlegung 115 also
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Kapitel 6 Potenzreihen 6.1 Gleichm
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6.1 Gleichmäßige Konvergenz 119 a
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6.2 Konvergenzradius 121 Es folgt d
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6.2 Konvergenzradius 123 Aufgrund v
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6.3 Reihenentwicklung der elementar
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6.3 Reihenentwicklung der elementar
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6.4 Taylorreihen 129 so sagt man: f
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Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebr
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