Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

54 Kapitel 2. Lineare Algebra II
Definition Es sei f : R n → R n eine lineare Abbildung und B = ( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b n )
eine Basis des R n . Die Matrix
(
C := f( ⃗ b 1 ) B · · · f( ⃗ )
b n ) B ,
in deren Spalten die Koordinatenvektoren der Bildvektoren f( ⃗ b i ) bezüglich
B stehen, heißt Abbildungsmatrix von f bezüglich B.
Satz 2.3.7 Es sei f : R n → R n eine lineare Abbildung und B = ( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b n )
eine Basis des R n . Ist A die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Standardbasis
des R n , so lautet die Abbildungsmatrix C von f bezüglich B:
C = B −1 AB.
Beweis. Es gilt:
(
C = (A ⃗ b 1 ) B · · · (A ⃗ )
b n ) B
(
= B −1 A ⃗ b 1 · · · B −1 A ⃗ )
b n
( )
= B −1 A ⃗b1 · · · ⃗ bn
= B −1 AB.
(Transformationsformel)
Beispiel 2.3.3 Es sei ⃗a ∈ R 3 ein Einheitsvektor. Wir betrachten die Spiegelung
an der zu ⃗a orthogonalen Ebene E = {⃗x ∈ R 3 |⃗a · ⃗x = 0} (vgl.
Beispiel 2.3.2(b)). Wir wollen eine möglichst einfache Abbildungsmatrix von
s bestimmen. Dazu sei ⃗ b ein Einheitsvektor, der in der Ebene E liegt, also
orthogonal zu ⃗a ist. Dann ist der Vektor ⃗a × ⃗ b ebenfalls ein Einheitsvektor
und orthogonal zu ⃗a und ⃗ b. Wir betrachten die Basis B = (⃗a, ⃗ b,⃗a × ⃗ b). Es gilt
s(⃗a) = −⃗a, s( ⃗ b) = ⃗ b, s(⃗a × ⃗ b) = ⃗a × ⃗ b.
Die Abbildungsmatrix von C von s bezüglich der Basis B sieht also wie folgt
aus:
⎛
−1 0
⎞
0
C = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
Es gilt det C = −1. Die Matrix C hat den Eigenwert λ = −1 mit zugehörigem
Eigenvektor ⃗a, denn es gilt C⃗a = −⃗a und ⃗a ≠ ⃗0. Außerdem hat C den
Eigenwert λ = 1 und alle ⃗ b ∈ E mit ⃗ b ≠ ⃗0 sind Eigenvektoren zu λ = 1.
✷