Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

2.3 Koordinatentransformation 53
DIe Abbildung f und die Matrix A sind orthogonal.
(b) Es sei ⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ) T ∈ R 3 ein Einheitsvektor. Wir betrachten die
Spiegelung an der zu ⃗a orthogonalen Ebene E = {⃗x ∈ R 3 |⃗a · ⃗x = 0}. Dies
ist die Abbildung
s : R 3 → R 3 ,
s(⃗x) = ⃗x − 2(⃗x · ⃗a)⃗a.
Dann ist s orthogonal. Die Abbildungsmatrix von s bezüglich der Standardbasis
ist die Matrix
⎛
⎞
S = ( s(⃗e 1 ) s(⃗e 2 ) s(⃗e 3 ) ) 1 − 2a 2 1 −2a 2 a 1 −2a 3 a 1
= ⎝ −2a 1 a 2 1 − 2a 2 2 −2a 3 a 2
⎠ .
−2a 1 a 3 −2a 2 a 3 1 − 2a 2 3
Es gilt det S = −1.
Es sei B = ( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b n ) eine beliebige Basis des R n . Nach Satz 1.8.2 besitzt
ein beliebiger Vektor ⃗x ∈ R n eine eindeutige Darstellung
⃗x = x ′ 1 ⃗ b 1 + . . . + x ′ n ⃗ b n .
Definition Die eindeutig bestimmten Koeffizienten x ′ i ∈ R heißen Koordinaten
des Vektors ⃗x ∈ R n bezüglich B und
⎛ ⎞
⃗x B = ⃗x ′ =
heißt der Koordinatenvektor von ⃗x ∈ R n bezüglich B. Die Abbildung
⎜
⎝
x ′ 1
.
x ′ n
⎟
⎠
t B : R n → R n , t B (⃗x) = ⃗x B ,
ist linear und heißt die Koordinatentransformation.
Wir bezeichnen mit B nun auch die invertierbare n × n-Matrix mit den
Spalten ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b n , d.h. ( )
B = ⃗b1 · · · ⃗ bn .
Dann gilt
⃗x = x ′ 1 ⃗ b 1 + . . . + x ′ n ⃗ b n = B
⎛
⎜
⎝
x ′ 1
.
x ′ n
⎞
⎟
⎠ = B⃗x B .
Damit gilt für den Basiswechsel von der Standardbasis (⃗e 1 , . . . , ⃗e n ) nach
( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b n ):
Substitutionsformel:
Transformationsformel:
⃗x = B⃗x B
⃗x B = B −1 ⃗x