Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

52 Kapitel 2. Lineare Algebra II
Definition (a) Eine lineare Abbildung f : R n → R n heißt orthogonal,
wenn sie das Skalarprodukt invariant lässt, d.h. wenn
f(⃗x) · f(⃗y) = ⃗x · ⃗y für alle ⃗x, ⃗y ∈ R n .
(b) Eine n × n-Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:
A T A = E (also A T = A −1 ).
(c) Eine Basis ( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b n ) heißt orthogonal, wenn die Basisvektoren ⃗ b i paarweise
orthogonal sind, d.h. wenn
⃗ bi · ⃗b j = 0 für alle i ≠ j.
Die Basis heißt orthonormal, wenn sie orthogonal ist und alle Basisvektoren
Einheitsvektoren sind, d.h.
⃗ bi · ⃗b j = 0 für alle i ≠ j und | ⃗ b i | = 1.
Beispiel 2.3.1 Die Standardbasis (⃗e 1 , . . . , ⃗e n ) des R n ist eine Orthonormalbasis.
Satz 2.3.5 Für eine orthogonale n × n-Matrix A gilt
det A = ±1.
Satz 2.3.6 Für eine n × n-Matrix A sind äquivalent:
(a) A ist orthogonal.
(b) (A⃗x) · (A⃗y) = ⃗x · ⃗y für alle ⃗x, ⃗y ∈ R n .
(c) Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis des R n .
Korollar 2.3.1 Eine lineare Abbildung f : R n → R n ist genau dann orthogonal,
wenn ihre Abbildungsmatrix orthogonal ist.
Beispiel 2.3.2 (a) Es sei f : R 3 → R 3 eine Drehung um die x-Achse um
den Winkel θ. Dann hat f die Abbildungsmatrix
⎛
1 0 0
⎞
A = ⎝ 0 cos θ − sin θ ⎠ .
0 sin θ cos θ