Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

2.3 Koordinatentransformation 51
Beweis. Für ⃗x = x 1 ⃗e 1 + · · · + x n ⃗e n folgt:
f(⃗x) = f(x 1 ⃗e 1 + · · · + x n ⃗e n )
= x 1 f(⃗e 1 ) + · · · + x n f(⃗e n )
⎛
= ( f(⃗e 1 ) · · · f(⃗e n ) ) ⎜
⎝
= A⃗x.
Satz 2.3.2 Eine lineare Abbildung f : R n → R m ist bereits durch die Bilder
der Vektoren einer Basis vollständig festgelegt.
Man kann Abbildungen hintereinanderausführen:
Definition Sind f : R n → R m sowie g : R m → R l Abbildungen, so heißt
die Abbildung
x 1
.
x n
⎞
⎟
⎠
✷
g ◦ f : R n → R l ,
(g ◦ f)(⃗x) := g(f(⃗x)),
die Komposition (oder Hintereinanderschaltung) von f und g. (Man sagt zu
g ◦ f auch g ”Kringel” f.)
Satz 2.3.3 Es seien f : R n → R m sowie g : R m → R l Abbildungen.
(a) Sind f und g linear, so ist auch g ◦ f linear.
(b) Sind f und g linear, A die Abbildungsmatrix von f, B die Abbildungsmatrix
von g, so ist BA die Abbildungsmatrix von g ◦ f.
Definition Eine Abbildung f : R n → R n heißt invertierbar (oder umkehrbar),
wenn es zu jedem ⃗y ∈ R n genau ein ⃗x ∈ R n gibt mit f(⃗x) = ⃗y. In diesem
Fall existiert die mit f −1 : R n → R n bezeichnete Umkehrabbildung (oder inverse
Abbildung), mit der jedem ⃗y ∈ R n das eindeutig bestimmte ⃗x ∈ R n mit
f(⃗x) = ⃗y zugeordnet wird (f(⃗x) wird unter f −1 wieder auf ⃗x abgebildet).
Satz 2.3.4 Es sei f : R n → R n eine lineare Abbildung mit Abbildungsmatrix
A.
(a) Ist f invertierbar, so ist auch f −1 linear und A −1 ist die Abbildungsmatrix
von f −1 .
(b) f ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist.