Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

50 Kapitel 2. Lineare Algebra II
(c) λ 1 = λ 2 , geometrische Vielfachheit 1,
(d) Die charakteristische Gleichung P A (λ) = 0 hat keine reellen Nullstellen.
Für jeden dieser Fälle betrachten wir nun ein Beispiel:
( ) 1 2
(a) A =
2 1
Eigenwerte: λ 1 = −1, λ 2 = 3 ( ) −1
V (λ 1 ) eindimensional mit Basis
(
1
) 1
V (λ 2 ) eindimensional mit Basis
1
( ) 2 0
(b) A =
0 2
Eigenwerte: λ 1 = λ 2 = 2
Eigenraum: V (λ 1 ) = R 2
( ) 2 1
(c) A =
0 2
Eigenwerte: λ 1 = λ 2 = 2
( 1
Eigenraum: V (λ 1 ) eindimensional mit Basis
0
)
( ) 0 −1
(d) A =
1 0
Charakteristische Gleichung λ 2 + 1 = 0 hat keine reelle Nullstelle.
2.3 Koordinatentransformation
Definition Es sei f : R n → R m eine lineare Abbildung und (⃗e 1 , . . . , ⃗e n ) die
Standardbasis von R n . Es sei
A := ( f(⃗e 1 ) · · · f(⃗e n ) )
die Matrix, deren Spalten aus den Bildern der Standardbasisvektoren bestehen.
Man nennt A die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Standardbasis.
Satz 2.3.1 Es gilt f(⃗x) = A⃗x für alle x ∈ R n .