Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 49
Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren
1. Schritt Bestimme die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P A (λ).
Die Vielfachheit l einer Nullstelle λ = α heißt die algebraische Vielfachheit
des Eigenwertes α.
2. Schritt Zu jedem Eigenwert α berechnet man den Lösungsraum des homogenen
linearen Gleichungssystems
(A − αE)⃗x = ⃗0.
Wir bezeichnen diesen Lösungsraum mit
V (α) := {⃗x ∈ R n | (A − αE)⃗x = ⃗0}.
Jede Lösung ⃗x ≠ ⃗0 ist ein Eigenvektor zu α.
Definition Der Unterraum V (α) von R n heißt der Eigenraum von A zum
Eigenwert α. Die Dimension dim V (α) heißt die geometrische Vielfachheit
des Eigenwertes α.
Beispiel 2.2.3 Gegeben sei die 2 × 2-Matrix
( ) a b
A = .
c d
1. Schritt: Charakteristisches Polynom:
P A (λ) = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc) = (λ − λ 1 )(λ − λ 2 ).
Nullstellen:
λ 1,2 = a + d ± 1 (a + d)2 − 4(ad − bc).
2 2√
2. Schritt: Für λ i ( i = 1, 2) ist das Gleichungssystem
( ) ( ) ( )
a − λi b x 0
=
c d − λ i y 0
zu lösen.
Es gibt vier verschiedene Fälle:
(a) λ 1 ≠ λ 2 ,
(b) λ 1 = λ 2 , geometrische Vielfachheit 2,