Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

48 Kapitel 2. Lineare Algebra II
Beispiel 2.2.1 Es sei f : R 3 → R 3 eine Drehung um die x-Achse um den
Winkel θ und A die Matrix
⎛
1 0 0
⎞
A = ⎝ 0 cos θ − sin θ ⎠ .
0 sin θ cos θ
Dann ist 1 ein Eigenwert von A und der Vektor (1, 0, 0) T ∈ R 3 ein Eigenvektor
von A zum Eigenwert 1.
Wie berechnet man nun die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix?
Dazu betrachten wir das lineare Gleichungssystem
A⃗x = λ⃗x
⇔ (A − λE)⃗x = ⃗0.
Ein Eigenwert von A ist eine Zahl λ ∈ R, für die dieses Gleichungssystem
eine nicht triviale Lösung besitzt. Nach Satz 1.10.3 ist dies genau dann der
Fall, wenn
det(A − λE) = 0.
Diesen Ausdruck fassen wir als eine Gleichung für unsere Unbekannte λ auf.
Dieser Ausdruck ist ein Polynom in λ.
Beispiel 2.2.2 Für eine 2 × 2-Matrix
( a b
A =
c d
)
gilt:
det(A − λE) =
∣ a − λ b
c d − λ ∣
= (a − λ)(d − λ) − bc
= λ 2 − (a + d)λ + ad − bc.
Definition Die Gleichung (für die Unbekannte λ)
det(A − λE) = 0
heißt die charakteristische Gleichung von A und das Polynom (in der Variablen
λ)
P A (λ) := det(A − λE)
heißt das charakteristische Polynom von A.