Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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46 Kapitel 2. Lineare Algebra II Beispiel 2.1.2 Wir betrachten nun die Abbildung f : R 2 → R 2 , die einen Vektor ⃗x um den Winkel θ dreht. Um eine Beschreibung für f 1 (x, y) und f 2 (x, y) abzuleiten, betrachten wir eine Drehung um einen positiven Winkel θ. Es sei ϕ der Winkel zwischen dem Vektor ⃗x und der positiven x-Achse und r die Länge von ⃗x. y ✻ f(⃗x) ✟✁ ✁✁✁✁✁✕ θ ✟✟✟✟✟✯ ϕ ⃗x ✲ x Dann gilt und f(⃗x) = ( ) x ⃗x = = y ( f1 (x, y) f 2 (x, y) ) = ( r cos ϕ r sin ϕ ) ( r cos(ϕ + θ) r sin(ϕ + θ) Durch Anwendung der Additionstheoreme von sin und cos ergibt sich hieraus und schließlich f 1 (x, y) = r cos ϕ cos θ − r sin ϕ sin θ f 2 (x, y) = r cos ϕ sin θ + r sin ϕ cos θ, f 1 (x, y) = (cos θ)x − (sin θ)y f 2 (x, y) = (sin θ)x + (cos θ)y. In Matrizenschreibweise lautet dies ( ) ( ) ( f1 (x, y) cos θ − sin θ x = f 2 (x, y) sin θ cos θ y Beispiel 2.1.3 Nun betrachten wir auch Abbildungen des Raumes. Es sei f : R 3 → R 3 eine Drehung um die x-Achse um den Winkel θ. Wie im vorigen Beispiel leitet man her, dass diese Abbildung durch die folgende Vorschrift gegeben wird: ⎛ ⎝ f 1 (x, y, z) f 2 (x, y, z) f 3 (x, y, z) ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ 1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ ) . ) . x y z ⎞ ⎠ .
2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 47 Beispiel 2.1.4 Die Beispiele von Abbildungen der Ebene und des Raumes sind Spezialfälle der folgenden Konstruktion. Einer m × n-Matrix ⎛ ⎞ a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n A = ⎜ ⎝ . . .. ⎟ . . ⎠ a m1 a m2 · · · a mn kann man wie folgt eine Abbildung f : R n → R m zuordnen: Wir definieren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x 1 a 11 x 1 + · · · + a 1n x n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f( ⎝ . ⎠) = ⎝ . ⎠ , x n a m1 x 1 + · · · + a mn x n oder anders ausgedrückt f(⃗x) = A⃗x. Nach den Rechenregeln für Matrizen gilt A(⃗x + ⃗x ′ ) = A⃗x + A⃗x ′ , A(λ⃗x) = λA⃗x. Also ist die Abbildung f : R n → R m linear. Beispiel 2.1.5 Die Funktion f : R → R, f(x) = x 2 , ist nicht linear, denn es gilt f(λx) = (λx) 2 = λ 2 x 2 für alle λ ∈ R und etwa für λ = 2 ist λ 2 ≠ λ. 2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Es sei A eine n × n-Matrix. Eine Zahl λ ∈ R heißt Eigenwert von A, wenn es wenigstens einen Vektor ⃗x ∈ R n , ⃗x ≠ ⃗0, gibt mit A⃗x = λ⃗x. Jeder Vektor ⃗x ≠ ⃗0, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Warnung Wichtig ist, dass ⃗x ≠ ⃗0 gefordert wird. Denn für den Nullvektor gilt A⃗0 = λ⃗0 für jedes λ ∈ R!
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2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 47<br />
Beispiel 2.1.4 Die Beispiele von Abbildungen der Ebene und des Raumes<br />
sind Spezialfälle der folgenden Konstruktion. Einer m × n-Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 a 12 · · · a 1n<br />
a 21 a 22 · · · a 2n<br />
A = ⎜<br />
⎝ . .<br />
..<br />
⎟ . . ⎠<br />
a m1 a m2 · · · a mn<br />
kann man wie folgt eine Abbildung f : R n → R m zuordnen: Wir definieren<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
x 1 a 11 x 1 + · · · + a 1n x n<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
f( ⎝ . ⎠) = ⎝ . ⎠ ,<br />
x n a m1 x 1 + · · · + a mn x n<br />
oder anders ausgedrückt<br />
f(⃗x) = A⃗x.<br />
Nach den Rechenregeln für Matrizen gilt<br />
A(⃗x + ⃗x ′ ) = A⃗x + A⃗x ′ ,<br />
A(λ⃗x) = λA⃗x.<br />
Also ist die Abbildung f : R n → R m linear.<br />
Beispiel 2.1.5 Die Funktion f : R → R, f(x) = x 2 , ist nicht linear, denn es<br />
gilt<br />
f(λx) = (λx) 2 = λ 2 x 2 für alle λ ∈ R<br />
und etwa für λ = 2 ist λ 2 ≠ λ.<br />
2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren<br />
Definition Es sei A eine n × n-Matrix. Eine Zahl λ ∈ R heißt Eigenwert<br />
von A, wenn es wenigstens einen Vektor ⃗x ∈ R n , ⃗x ≠ ⃗0, gibt mit<br />
A⃗x = λ⃗x.<br />
Jeder Vektor ⃗x ≠ ⃗0, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor von A zum<br />
Eigenwert λ.<br />
Warnung Wichtig ist, dass ⃗x ≠ ⃗0 gefordert wird. Denn für den Nullvektor<br />
gilt A⃗0 = λ⃗0 für jedes λ ∈ R!
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